Вариант № 463

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1998 год, вариант 1

Из пред­ло­жен­ных сю­же­тов не­об­хо­ди­мо ре­шить пер­вые два, из остав­ших­ся сю­же­тов сле­ду­ет вы­брать один. Таким об­ра­зом по­лу­чит­ся три сю­же­та: два обя­за­тель­ных и один вы­бран­ный. Всего 12 пунк­тов. Для по­лу­че­ния оцен­ки «5» до­ста­точ­но верно и пол­но­стью ре­шить любые 10 пунк­тов из 12. Про­дол­жи­тель­ность эк­за­ме­на 5 аст­ро­но­ми­че­ских часов.


Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 2105
i

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ax.

а)  Из­вест­но, что x=1  — ко­рень урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3. Най­ди­те a и осталь­ные корни этого урав­не­ния.

б)  Пусть a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

г)  До­ка­жи­те, что если урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =n плюс 1 (n  — на­ту­раль­ное) имеет по­ло­жи­тель­ный ко­рень, то a боль­ше ne.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
 № 2106
i

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус ax синус x.

а)  Пусть a=3. Ре­ши­те урав­не­ние \dfracf левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2.

б)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка Пи пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx\geqslant0.

в)  Пусть xa  — наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние x_a.

г)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при всех x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3

Даны мно­го­чле­ны p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =ax в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1998 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b и q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =cx в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1917 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс d, a не равно 0.

а)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число дей­стви­тель­ных кор­ней урав­не­ния p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Пусть a=71, b=3, c=74 и d=0. Ре­ши­те урав­не­ние p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Пусть b=0 и c=1. Най­ди­те все целые a, d, при ко­то­рых число p левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на q левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка при всех n при­над­ле­жит \Bbb N.

г)  Пусть d=0. Най­ди­те все целые a, b, c при ко­то­рых раз­ность p левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка минус q левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те при всех n при­над­ле­жит \Bbb N.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
 № 2108
i

Каж­дая из гра­ней куба за­кра­ши­ва­ет­ся це­ли­ком белым или чер­ным цве­том. Рас­крас­ки двух кубов на­зы­ва­ют­ся оди­на­ко­вы­ми, если эти кубы не­воз­мож­но раз­ли­чить (при этом их раз­ре­ша­ет­ся вра­щать в про­стран­стве).

а)  Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что при слу­чай­ном рас­кра­ши­ва­нии куба все его про­ти­во­по­лож­ные грани имеют раз­лич­ные цвета.

б)  Сколь­ко всего су­ще­ству­ет раз­лич­ных рас­кра­сок куба?

в)  Двое людей по оче­ре­ди за­кра­ши­ва­ют по одной грани куба. Рас­кра­сив один куб, они при­ни­ма­ют­ся за сле­ду­ю­щий. До­ка­жи­те, что вто­рой из них может до­бить­ся, чтобы все кубы ока­за­лись оди­на­ко­во рас­кра­шен­ны­ми.

г)  Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что при слу­чай­ном рас­кра­ши­ва­нии двух кубов их рас­крас­ки ока­за­лись оди­на­ко­вы­ми.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
 № 2109
i

Дан мно­го­член p левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка = z в кубе плюс az плюс b, a, b, z при­над­ле­жит C

а)  Пусть a = минус i, b = 1 минус i. Най­ди­те корни мно­го­чле­на p левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка (и за­пи­ши­те их в ал­геб­ра­и­че­ской форме).

б)  Най­ди­те все пары левая круг­лая скоб­ка a; b пра­вая круг­лая скоб­ка , при ко­то­рых один из кор­ней мно­го­чле­на p левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка сов­па­да­ет с се­ре­ди­ной от­рез­ка между двумя дру­ги­ми (здесь и в сле­ду­ю­щем пунк­те мы отож­деств­ля­ем ком­плекс­ные числа с точ­ка­ми плос­ко­сти).

в)  Най­ди­те все пары левая круг­лая скоб­ка a; b пра­вая круг­лая скоб­ка , при ко­то­рых корни мно­го­чле­на p левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка лежат в вер­ши­нах рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

г)  До­ка­жи­те, что если |p левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка | мень­ше или равно 1 при всех |z| = 1, то a = b = 0.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить работу, свериться с ответами, увидеть решения.


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025