Дан многочлен 
а) Пусть 
Найдите корни многочлена 
(и запишите их в алгебраической форме).
б) Найдите все пары 
при которых один из корней многочлена совпадает с серединой отрезка между двумя другими (здесь и в следующем пункте мы отождествляем комплексные числа с точками плоскости).
в) Найдите все пары при которых корни многочлена лежат в вершинах равностороннего треугольника.
г) Докажите, что если 
при всех 
то 
б) По условию 
в силу формул Виета 
поэтому 
значит, 
в) Так как 
то центр треугольника совпадает с началом координат, поэтому
Прямая проверка показывает, что 
Приведем еще одно решение.
Так как то из условия, что эти числа лежат в вершинах равностороннего треугольник, следует, что они являются корнями уравнения 
Следовательно, они также и корни уравнения 
которое тем самым имеет по крайней три различных корня. Значит, 
г) Пусть 
Тогда
Осталось показать, что если 
то найдется решение системы неравенств
для которого хотя бы одно из этих неравенств является строгим (тогда 
Действительно, если 
то и
С другой стороны, при подстановке 
и 
во второе выражение получаем значения противоположных знаков.
Ответ: 
a любое;
