Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство

б)  Ре­ши­те урав­не­ние

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях a не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при всех x из мно­же­ства

г)  Вы­яс­ни­те, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от a.

Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное ре­ше­ние си­сте­мы

в)  Най­ди­те об­ласть зна­че­ний функ­ции f.

г)  Пусть   — наи­боль­шее зна­че­ние f на от­рез­ке Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции g на мно­же­стве ве­ще­ствен­ных чисел.

3.  Даны три ком­плекс­ных числа:

а)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до фи­гу­ры, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем

б)  Изоб­ра­зи­те мно­же­ство точек z ком­плекс­ной плос­ко­сти, таких, что

в)  Пусть z про­бе­га­ет все точки от­рез­ка с кон­ца­ми а U и V  — мно­же­ства точек, ко­то­рые про­бе­га­ют при этом и Изоб­ра­зи­те пе­ре­се­че­ние мно­жеств U и V.

г)  Пусть z про­бе­га­ет все точки от­рез­ка с кон­ца­ми Изоб­ра­зи­те мно­же­ство всех точек, ко­то­рое про­бе­га­ет при этом

4.  Дана функ­ция Точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с гра­фи­ком функ­ции f и осью абс­цисс обо­зна­ча­ют­ся со­от­вет­ствен­но и ка­са­тель­ная к гра­фи­ку в точке обо­зна­ча­ет­ся

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f, осью абс­цисс и пря­мой равна

б)  Пусть C  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью абс­цисс. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка AOC и пря­мо­ли­ней­но­го ABC.

в)  Пусть M и N  — точки гра­фи­ка функ­ции f, такие, что пря­мая MN па­рал­лель­на До­ка­жи­те, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной пря­мой MN, осью абс­цисс и пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к ней из точек M и N, не пре­вос­хо­дит 32.

г)  Пусть   — не­пре­рыв­ная не­от­ри­ца­тель­ная функ­ция, опре­де­лен­ная на такая, что и при любом пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f, осями ко­ор­ди­нат и пря­мой равна До­ка­жи­те, что

5.  По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на ре­кур­рент­но: при всех

а)  До­ка­жи­те, что если a  — целое, то x_n  — не­чет­ное число при всех

б)  Вы­яс­ни­те, при каком зна­че­нии a по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся ста­ци­о­нар­ной.

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях a по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей.

г)  Пусть До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность не имеет пре­де­ла.