Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
Версия для печати и копирования в MS Word
Дана функция 
а) Докажите, что числа x и 
входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно 
б) Решите уравнение 
в) Докажите, что для любого натурального числа 
уравнение 
имеет ровно одно решение на 
г) Найдите все такие a, при которых уравнение 
имеет три решения.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Найдите все такие a, при которых 
в) Найдите все такие a, при которых 
при всех 
г) Найдите все такие a, при которых график функции f имеет центр симметрии.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3. Дана функция 
а) Найдите все такие a, при которых функция f монотонна на луче 
б) Пусть Найдите уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через точку 
в) Пусть Найдите все точки оси абсцисс, через которые проходит ровно одна касательная к графику
г) Найдите (при произвольном 
) такое значение 
при котором фигура, ограниченная прямой, касающейся графика функции f в точке с абсциссой самим этим графиком и прямыми 
имеет наименьшую площадь.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4. Пусть a, b, c — длины некоторых отрезков.
а) Докажите, что если 
то треугольник, который можно составить из этих отрезков, остроугольный.
б) Выясните, существует ли треугольник со сторонами 
в) Докажите, что если для любого натурального числа n существует треугольник со сторонами a^n, b^n, c^n, то все эти треугольники равнобедренные.
г) Пусть 
— угол треугольника со сторонами 
(), лежащий против средней из них. Докажите, что последовательность 
монотонна, и вычислите ее предел.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5. Пусть 
— точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, 
— окружность 
а 
— множество комплексных чисел, заданное неравенством 
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки 
до точек 
постоянна.
б) Изобразите на плоскости точки 
и множество комплексных чисел вида 
где 
в) Найдите такую точку 
и все такие равносторонние треугольники с вершинами на 
для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.
г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число 
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.