3В. Дано число 
такое что 
Сопоставим точкам 
плоскости (здесь 
— комплексные числа) числа 
и 
а) Известно, что 
Определите вид треугольника ABC.
б) Докажите, что числа u и v не изменятся, если треугольник ABC подвергнуть параллельному переносу.
в) Докажите, что треугольник ABC является равносторонним тогда и только тогда, когда 
г) Найдите множество значений u для всех треугольников ABC, накрываемых кругом радиуса 1.
Конечно, можно записать, что 
однако всюду в дальнейшем нам потребуются лишь следующие два свойства этого числа:
Первое из них следует из разложения 
второе — из того, что ε — отличный от 1 кубический корень из 1.
а) Если 
и 
то 
откуда 
Следовательно, точка B получена из точки C поворотом на угол 
вокруг начала координат, совпадающего с вершиной A этого треугольника. Поэтому он — равносторонний.
б) Пусть произведен параллельный перенос на вектор, определяемый комплексным числом z. Тогда
Постоянство числа v проверяется аналогично.
в) В силу предыдущего пункта мы вправе считать, что точка A совпадает с началом координат, так что 
Если треугольник ABC — равносторонний, то точка B получается из точки C поворотом на угол в одном из двух направлений, значит, одно из чисел b и c получается из другого умножением на 
поэтому либо 
либо 
Для доказательства обратного утверждения надо просто проследить, что все рассуждения можно провести в обратном направлении (ср\. с решением первого пункта).
г) Опять-таки в силу пункта б) мы вправе предположить, что единичный круг имеет O своим центром. Следовательно, 
откуда 
Обратно, если положить 
где 
является значением суммы 
для некоторой тройки
Ответ: а) равносторонний; г) круг радиусом 3 с центром в начале координат.