3А. Комплексное число 
называется гауссовым, если a и b — целые числа. Говорят, что гауссово число z кратно числу w, если 
где w и u — гауссовы числа. Пусть 
— множество всех гауссовых чисел, кратных 
а) Найдите все натуральные a, такие что 
и 
б) Докажите, что если 
и 
то z кратно 
в) Существуют ли числа 
такие что 
г) Докажите, что для всякого гауссова числа z найдется число 
такое что 
а) Пусть 
Число 
тогда и только тогда, когда z — гауссово, но
поэтому тогда и только тогда, когда числа 
и 
делятся на 5.
б) Поскольку
то можно записать:
где x и y — целые числа.
Поскольку 
то 
так что 
Окончательно получаем:
в) Предположим, что требуемые числа u и v существуют. Рассмотрим число 
заметим, что, поскольку числа u и v гауссовы, 
тоже рационально. С другой стороны, если 
то
а потому 
так как число 
рационально, а число 
иррационально, то 
— иррациональное число, но оно, очевидно, равно 
г) Числа 
имеют вид
где 
Поэтому совокупность всех чисел w — это множество узлов решётки, изображенной на рисунке. Любое число z оказывается, таким образом, внутри или на сторонах какого-то квадрата со стороной длины 
вершины которого — числа из множества K. Понятно, что можно ограничиться рассмотрением гауссовых чисел, лежащих внутри или на сторонах квадрата OABC, где A — соответствует числу 
B — числу 
C — числу 
(остальные случаи можно свести к этому соответствующим параллельным переносом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, 
) очевидно, что расстояние от них до ближайшей из вершин квадрата OABC не превосходит 1.
Ответ: