3Б. Будем обозначать через 
точку плоскости, соответствующую комплексному числу z. Рассмотрим точки 
i = 1, 2, 3, где 
и 
а) Докажите, что если 
то точки 
i = 1, 2, 3, лежат на одной прямой.
б) Докажите, что если 
и 
то треугольник 
— прямоугольный (O — начало координат).
в) Пусть 
Найдите наибольшее значение отношения площадей треугольников и 
г) Докажите, что точки Ai, i = 1, 2, 3, и O лежат на одной окружности.
а) Поскольку
то точка 
— середина отрезка 
б) Пусть 
Тогда 
(по условию 
) 
Вектор 
имеет координаты 
а вектор 
— координаты 
Таким образом, скалярное произведение
т. е. эти вектора перпендикулярны 
в) Пусть, как выше Выводим: 
таким образом,
откуда следует, что отношение площадей будет наибольшим тогда, когда будет наибольшим отношение 
Но из рисунка справа ясно, что наибольшее значение выражения 
достигается, если 
лежит на касательной, проведенной из точки O к окружности, задаваемой уравнением 
Легко видеть, что при этом значение 
равно 
г) Пусть данные точки не лежат на одной прямой. Достаточно показать, что отрезок 
виден из точек O и 
под равными углами и отрезок 
виден под равными углами из точек O и 
Но покажем, например, первое (второе аналогично). Для этого достаточно показать, что 
Ясно, что если 
или 
то все данные точки лежат на одной прямой. Однако:
Отсюда
Ответ: в)