4. Пусть S — множество комплексных чисел, модуль которых равен единице.
а) Докажите, что все решения уравнения 
принадлежат множеству S.
б) Найдите все решения уравнения 
которые лежат в S.
в) Найдите все действительные a, при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
г) Найдите все значения 
при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
а) Сделав замену 
получим уравнение 
следовательно, 
так что 
поэтому и 
Можно, конечно, извлечь кубический корень из 
к примеру,
значит, 
но это несколько глуповато.
Более элегантное решение: если 
то
значит, 
откуда 
б) Данное уравнение решается при помощи разложения на множители, нужно только сообразить использовать тождество 
в) Как и раньше, дадим несколько решений, начав со стандартных.
Если 
то 
и
поэтому система
равносильна системе
Так как
то из второго уравнения системы получаем, что 
теперь из первого уравнения следует, что 
Система 
равносильна системе
или
Значит, при 
Рассматривая оставшиеся значения, получаем ответ.
Теперь решения, использующие векторы. Если 
и 
то векторы 
и 
либо противоположны, то есть либо cимметричны относительно вещественной оси (см. рис.), значит, 
то есть 
г) Если 
то угол между и равен 
(см. рис), значит, 
Еще одно, более геометричное, решение последнего пункта. Если то 
лежит на пересечении двух окружностей (см. рис): 
и 
откуда 
С математической точки зрения, в пунктах в) и г) идет речь об одном и том же — о пересечении образа единичной окружности S при отображении 
с, соответственно, вещественной осью и самой окружностью S. Поскольку это отображение есть композиция следующих двух: 
и 
первое из которых переводит окружность S на себя, то достаточно найти ее образ при втором отображении. Итак, нужно найти (описать, нарисовать) множество
то есть множество, состоящее из точек с координатами 
где 
Поскольку 
и 
то образы отрезков 
и 
симметричны относительно начала координат. Далее, 
и 
следовательно, образы отрезков 
и 
симметричны относительно оси ординат. Таким образом, достаточно нарисовать множество
которое в полярной системе координат задано парой функций 
и выглядит так, как изображено на рисунке. Произведя две симметрии относительно осей координат, получим кривую, изображенную на рисунке (штриховой линией отмечена единичная окружность).
Ответ: 
