Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство

б)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

в)  Пусть Ре­ши­те урав­не­ние

г)  Пусть Най­ди­те с точ­ность до по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния

Дана функ­ция

а)  Най­ди­те a и b, если из­вест­но, что числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми функ­ции f.

б)  Пусть Ре­ши­те не­ра­вен­ство

в)  Пусть Ре­ши­те урав­не­ние

г)  Най­ди­те все пары при ко­то­рых пе­ри­од функ­ции f равен

3А. Ком­плекс­ное число на­зы­ва­ет­ся гаус­со­вым, если a и b  — целые числа. Го­во­рят, что гаус­со­во число z крат­но числу w, если где w и u  — гаус­со­вы числа. Пусть   — мно­же­ство всех гаус­со­вых чисел, крат­ных

а)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные a, такие что и

б)  До­ка­жи­те, что если и то z крат­но

в)  Су­ще­ству­ют ли числа такие что

г)  До­ка­жи­те, что для вся­ко­го гаус­со­ва числа z най­дет­ся число такое что

3Б. Будем счи­тать, что Земля имеет форму шара ра­ди­у­сом км. Из­вест­но, что ра­дио­вол­ны, на ко­то­рых ве­дет­ся те­ле­ве­ща­ние, рас­про­стра­ня­ют­ся по пря­мой. Пред­по­ло­жим, что те­ле­пе­ре­дат­чик рас­по­ло­жен на вы­со­те h от зем­ной по­верх­но­сти. Обо­зна­чим через рас­сто­я­ние по по­верх­но­сти Земли от ос­но­ва­ния те­ле­баш­ни (или от той точки Земли, ко­то­рая рас­по­ло­же­на ближе всего к ре­транс­ля­ци­он­но­му спут­ни­ку) до самой даль­ней точки, в ко­то­рой воз­мо­жен прием те­ле­пе­ре­да­чи.

а)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние h, при ко­то­ром прием воз­мо­жен во всех точ­ках не­ко­то­ро­го ме­ри­ди­а­на се­вер­нее ю. ш. и южнее с. ш., если спут­ник висит над эк­ва­то­ром?

б)  До­ка­жи­те, что

в)  Пред­по­ло­жим, что пе­ре­дат­чик раз­ме­щен на Луне (т. е. на рас­сто­я­нии 400 000 км от цен­тра Земли). По­ка­жи­те, что в этом слу­чае мень­ше чет­вер­ти длины эк­ва­то­ра по край­ней мере на 100 км.

г)  Для того, чтобы обес­пе­чить связь между двумя пунк­та­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми на рас­сто­я­нии 1600 км друг от друга, ре­ше­но по­стро­ить ра­дио­ре­лей­ную линию. До­ка­жи­те, что если вы­со­та мачт этой линии равна 31,25 метра, то по­тре­бу­ют­ся не менее 41 таких мачт.

Пусть   — мно­го­член сте­пе­ни n.

а)  Из­вест­но, что числа 3 и 7 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми мно­го­чле­на и что Най­ди­те

б)  Из­вест­но, что числа 1 и 2 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми мно­го­чле­на Пусть и при­чем До­ка­жи­те, что число, де­ля­щее от­ре­зок в от­но­ше­нии яв­ля­ет­ся тре­тьим кор­нем этого мно­го­чле­на.

в)  Пусть Най­ди­те все a, при ко­то­рых мно­го­член имеет ровно два дей­стви­тель­ных корня.

г)  Пусть Най­ди­те все при ко­то­рых урав­не­ние имеет 1000 раз­лич­ных дей­стви­тель­ных кор­ней.