Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2018

5. Пусть A(i минус 1), B(2i минус 1), C(2 минус 3i) — точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, \Cal S — окружность |z|=1, а \Cal D — множество комплексных чисел, заданное неравенством |2z минус 1| \leqslant} 1.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки P принадлежит \Cal S до точек A, B, C постоянна.

б) Изобразите на плоскости точки A, B и множество комплексных чисел вида z(2i минус 1) плюс (1 минус z)(i минус 1), где z принадлежит \Cal D.

в) Найдите такую точку E принадлежит \Cal D и все такие равносторонние треугольники с вершинами на \Cal S, для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.

г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число z принадлежит \Cal D, что w=z z_k плюс (1 минус z)z_j, где z_k, z_j принадлежит \i минус 1, 2i минус 1, 2 минус 3i\.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведем вычисления в общем виде, считая, что точки A, B, C соответствуют комплексным числам z1, z2, z3, где z_1 плюс z_2 плюс z_3=0:

\sum_i=1 в кубе |z минус z_i| в квадрате =\sum_i=1 в кубе (z минус z_i)(\bar z минус \bar z_i)=3|z| в квадрате плюс \sum_i=1 в кубе |z_i| в квадрате минус z\sum_i=1 в кубе \bar z_i минус \bar z\sum_i=1 в кубе z_i=3 плюс \sum_i=1 в кубе z_i в квадрате =\rm const.

б) Множество \Cal D, заданное неравенством\linebreak \left|z минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби |\leqslant} дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , является кругом, диаметр которого совпадает с отрезком [0; 1] вещественной оси. Так как

z(2i минус 1) плюс (1 минус z)(i минус 1)=iz плюс i минус 1,

то искомое множество получается из \Cal D путем его поворота на угол  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби (умножение на i) и параллельного переноса на вектор, соответствующий i минус 1.

в) Если z1, z2, z3 — вершины лежащего на окружности S равностороннего треугольника, то z_1 плюс z_2 плюс z_3=0, поэтому

\sum\limits_i=1 в кубе |z минус z_i| в квадрате =3|z| в квадрате плюс 3

(см. пункт а)) и \max|z| при z принадлежит \Cal D реализуется в точке z=1.

г) Множество точек указанного в задаче вида, как следует из рассуждения пункта б), является кругом с диаметром [z_k; z_j]. Три круга, построенные на отрезках AB, BC и AC как на диаметрах, накрывают этот треугольник хотя бы потому, что он тупоугольный.

 

Ответ: б) см. рис.; в) E соответствует z=1, треугольник — произвольный; г) да, верно.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
? Классификатор: Расстояние между точками, плоскостями
?
Сложность: 11 из 10