Вариант № 459

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1

Из пред­ло­жен­ных сю­же­тов не­об­хо­ди­мо ре­шить пер­вые два, из остав­ших­ся сю­же­тов сле­ду­ет вы­брать один. Таким об­ра­зом по­лу­чит­ся три сю­же­та: два обя­за­тель­ных и один вы­бран­ный. Всего 12 пунк­тов. Для по­лу­че­ния оцен­ки «5» до­ста­точ­но верно и пол­но­стью ре­шить любые 10 пунк­тов из 12. Про­дол­жи­тель­ность эк­за­ме­на 5 аст­ро­но­ми­че­ских часов.


Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 2085
i

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\dfrac4 в сте­пе­ни x минус a умно­жить на 2 в сте­пе­ни x 2 в сте­пе­ни x минус 1.

а)  Пусть a= минус 2. Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Пусть a= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0.

в)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых функ­ция f мо­но­тон­на на луче левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все a при ко­то­рых су­ще­ству­ет b, такое что урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =b не имеет ре­ше­ний.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
 № 2086
i

Пусть f_n левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус nx, n при­над­ле­жит \Bbb N.

а)  Най­ди­те все x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , для ко­то­рых f_5 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f_3 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f_5 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2f_3 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Най­ди­те все a, такие что урав­не­ние f_3 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f_3 левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка имеет ровно два ре­ше­ния на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Су­ще­ству­ет ли мно­го­член q, для ко­то­ро­го q левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =f_1996 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при всех x при­над­ле­жит \Bbb R?


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
 № 2087
i

3А. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс x плюс 7 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус x плюс 1 конец ар­гу­мен­та .

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant1.

б)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f.

в)  До­ка­жи­те не­ра­вен­ство

при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 \dfrac2f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx\leqslant3.

г)  Най­ди­те все k при­над­ле­жит \Bbb Z, такие что f левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Bbb Q.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
 № 2088
i

3Б. Будем обо­зна­чать через M левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка точку плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щую ком­плекс­но­му числу z. Рас­смот­рим точки A_i левая круг­лая скоб­ка z_i пра­вая круг­лая скоб­ка , i  =  1, 2, 3, где z_1 не равно минус z_2 и z_3=\dfrac2z_1z_2z_1 плюс z_2.

а)  До­ка­жи­те, что если z_1, z_2 не равно 0, то точки B_i левая круг­лая скоб­ка z_i в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , i  =  1, 2, 3, лежат на одной пря­мой.

б)  До­ка­жи­те, что если z_2=\overline z_1 и z_1 не равно z_2, то тре­уголь­ник OA_1A_3  — пря­мо­уголь­ный (O  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат).

в)  Пусть z_2=\overline z_1, |z_1 минус 2|\leqslant1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние от­но­ше­ния пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков OA_1A_3 и OA_1A_2.

г)  До­ка­жи­те, что точки Ai, i  =  1, 2, 3, и O лежат на одной окруж­но­сти.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
 № 2089
i

3В. По­ло­жим p_n левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс x плюс \ldots плюс x в сте­пе­ни n .

а)  До­ка­жи­те, что мно­го­член pn имеет ве­ще­ствен­ные корни тогда и толь­ко тогда, когда число n не­чет­но.

б)  Пусть z_1, z_2, \ldots, z_n  — ком­плекс­ные корни мно­го­чле­на pn. До­ка­жи­те, что левая круг­лая скоб­ка 1 минус z_1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус z_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка 1 минус z_n пра­вая круг­лая скоб­ка =n плюс 1.

в)  Най­ди­те все n, при ко­то­рых мно­го­член pn де­лит­ся на 1 плюс x в кубе .

г)  До­ка­жи­те, что

\sum_k=0 в сте­пе­ни n C_n плюс 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка p_k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни n p_n левая круг­лая скоб­ка \tfracx плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка .


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить работу, свериться с ответами, увидеть решения.


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025