PDF-версии: 
Решите неравенство: 
Решение. Преобразуем исходное неравенство:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Учитывая область определения логарифмической функции и монотонное убывание функции 
на всей области определения, перейдем к равносильной системе:
Так как 
— монотонно убывающая функция на всей области определения, то (с учетом области определения) переходим к системе неравенств
возрастает на своей области определения, т. е. при 
заменим исходное неравенство равносильной ему системой:
и укажите все его целые решения.
целые решения: 3, 4.
запишем данное неравенство в виде 
монотонно убывает 
а ее область определения задастся неравенством 
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству
определена только для положительных значений аргумента, поэтому 
Исходное неравенство можно записать в следующем виде: 
Так как логарифмическая функция с основанием 4 возрастает, то данное неравенство равносильно системе
определена на множестве положительных действительных чисел. Поскольку логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, то данное неравенство равносильно неравенству
Неравенство будет равносильно системе
тогда исходное уравнение равносильно системе неравенств:
(поскольку 
нужно сменить знак неравенства. Кроме того мы записали условие, при котором логарифм определен). Тогда 
принимает положительные значения.
Его можно переписать иначе: 
Логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, является монотонно убывающей, следовательно, от последнего неравенства можно перейти к равносильному неравенству 
При тех значениях х, которые удовлетворяют последнему неравенству, справедливо и другое неравенство 
которое задает область определения функции 
Таким образом, решение сводится к неравенству 
или 
Решив его, получим 
или 
Заменим получившееся неравенство равносильной ему системой двух неравенств. Первое 
— определяет область допустимых значений логарифмической функции, второе 
— вытекает из того, что функция 
убывает на всей своей области определения. Из первого неравенства получим 
из второго 
Решения системы: 
убывает при 
При этом автоматически выполняется условие 
Решением системы является 
с единицей.
Неравенство равносильно системе
равносильно системе
Рассмотрим совокупность
Так как основание логарифма 
то получаем 
Отсюда 
Функция 
монотонно возрастает, а ее область определения задается неравенством 
т. е. 
В силу указанных условий исходное неравенство равносильно системе неравенств
Преобразовав последнее неравенство, получим 
Решим это неравенство методом интервалов. Для этого рассмотрим функцию 
При 
функция не определена, а при 
принимает нулевое значение. Отметим числа −2 и 
точками на координатной прямой. Они разбивают координатную прямую на три интервала. На каждом из них функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль. Определим знаки значений функции в какой-либо произвольной внутренней точке каждого интервала: 
и 
функция f(x) принимает отрицательные значения. Все точки этого интервала и являются решениями исходного неравенства.
задается условием 
Парабола с ветвями, которые направлены вверх, являющаяся графиком функции 
пересекает ось абсцисс в точка −1 и 1 (см. рис.). Значит, функция 
принимает положительные значения при 
или при 
справедливо: 
или 
На рисунке штриховкой изображено пересечение отрезка 
с промежутками 
и 
задающими область определения функции 
Это пересечение состоит из двух промежутков 
и 
Функция 
монотонно убывает 
а ее область определения задается неравенством 
В силу указанных условий исходное неравенство равносильно системе неравенств
монотонно убывает на 
тогда 
и, следовательно, исходное неравенство равносильно системе
Поскольку основание логарифма больше единицы, то функция 
— возрастающая, а значит, при 
получаем
или 
то есть 
и рационализируем неравенство при этом условии. Получим:
и то, что 
то есть 
и рационализируем неравенство при этом условии.
и то, что 
Найдём нули функциq 
и 
т. к. 
Нетрудно определить знаки и на оставшихся промежутках.
Найдём её область определения:
Используя метод интервалов, найдём значения x, для которых 
Приведем его к виду 
и решим методом интервалов. На рисунке изображена координатная прямая с точкой разрыва и нулем функции 
и указан знак функции на каждом из получившихся промежутков. Функция f принимает положительные значения при 
и укажите какое-либо целое значение x, удовлетворяющее данному неравенству.
Функция f(x) определена при 
Для того чтобы решить неравенство 
найдем нули функции f(x): 
при 
и 
Поскольку 
и 
меняет знак в точках 3 и 1 соответственно, функция f(x) также меняет знак в этих точках; 
знаки должны быть расставлены так, как показано на рисунке. 
целое значение, удовлетворяющее неравенству, например 4.
выражение 
определено, число 2 является решением неравенства. Решим уравнение 
применим метод рационализации:
или 
на своей области определения, перейдем к равносильной системе
возрастающая 
с областью определения 
Функция 
возрастающая. Имеем 
— решение исходного неравенства.
На указанном множестве данное неравенство равносильно неравенству 
получим равносильную данному неравенству систему
при 
получим равносильную систему
Найдем решение системы (1) (см. рис.).
при любых a, то 
С другой стороны, 
так как 
для любого а. Основания логарифмов положительны и меньше 1 при всех a, поэтому 
Зная, что логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, найдем область допустимых значений x. Получим 
Отметим на координатной прямой нули функции f(a) и используем метод интервалов (см. рис.). 
а дальше расставим знаки, учитывая кратность корней. Окончательно имеем: 
и 
Функция 
определена, только для положительных значений аргумента, поэтому 
или 
Получим
для любых значений x , то 
следовательно, исходное неравенство определено для любого значения x. Оценим логарифмическое выражение, входящее в данное неравенство. Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
Так как 
то 
и 
Значит, произведение этих выражений может быть равно единице только при тех значениях x, которые одновременно обращают оба множителя в единицу: 
при 
т. е. 
т. е. 
тогда ответ будет 