Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3982
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6 конец дроби боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ спо­соб. Ис­поль­зу­ем метод ин­тер­ва­лов. Рас­смот­рим функ­цию

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6 конец дроби .

Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния дан­ной функ­ции. Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция опре­де­ле­на на мно­же­стве по­ло­жи­тель­ных чисел. Вы­ра­же­ния, сто­я­щие в зна­ме­на­те­лях дро­бей, не долж­ны об­ра­щать­ся в нуль. Сле­до­ва­тель­но, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие:

x в квад­ра­те минус x минус 6 не равно 0.

Решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние:

x в квад­ра­те минус x минус 6=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3,x= минус 2. конец со­во­куп­но­сти .

Итого: D левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 0; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . От­ме­тим на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой нули функ­ции f(a) и ис­поль­зу­ем метод ин­тер­ва­лов (см. рис.). Опре­де­лим знак функ­ции на край­нем про­ме­жут­ке f левая круг­лая скоб­ка 1000 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, а даль­ше рас­ста­вим знаки, учи­ты­вая крат­ность кор­ней. Окон­ча­тель­но имеем: x боль­ше 3 и 0 мень­ше x мень­ше или равно 1.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ⅱ спо­соб. Имеем

 дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6 конец дроби боль­ше или равно 0.

Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти двух си­стем: пер­вая

 си­сте­ма вы­ра­же­ний де­ся­тич­ный ло­га­рифм x боль­ше или равно 0,x в квад­ра­те минус x минус 6 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 1, левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x боль­ше 3;

и вто­рое

 си­сте­ма вы­ра­же­ний де­ся­тич­ный ло­га­рифм x мень­ше или равно 0,x в квад­ра­те минус x минус 6 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше или равно 1, левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно 1.

В ответ за­пи­шем объ­еди­не­ние этих двух про­ме­жут­ков.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3988

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 5 из 10