Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3598
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \log _2 дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше минус 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

\log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \log _2 дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 3.

Вос­поль­зо­вав­шись свой­ства­ми убы­ва­ния функ­ции y= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка t при t при­над­ле­жит {0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим рав­но­силь­ную дан­но­му не­ра­вен­ству си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби мень­ше 3, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Пе­ре­пи­шем ее в виде

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 8, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 1. конец си­сте­мы .

Вос­поль­зо­вав­шись свой­ством воз­рас­та­ния функ­ции y= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 t при t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим рав­но­силь­ную си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби мень­ше 8, дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше 1, дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше 0. конец си­сте­мы .

За­ме­тим, что тре­тье не­ра­вен­ство можно опу­стить, так как его вы­пол­не­ние га­ран­ти­ру­ет­ся вто­рым не­ра­вен­ством.

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби мень­ше 8, дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше 1. конец си­сте­мы . \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

1)  Решим

 дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби минус 8 мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 1 минус 16 плюс 8x, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9x минус 17, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 9x минус 17 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

Из ри­сун­ка а видно, что ре­ше­ни­ем по­след­не­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


2) Решим

 дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 1 минус 2 плюс x, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2x минус 3, зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

 

Из ри­сун­ка б видно, что ре­ше­ни­ем по­след­не­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ре­ше­ние си­сте­мы (1) (см. рис.).

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3604

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 5 из 10