Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3598

Решите неравенство \log _\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \log _2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше минус 1.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем неравенство в виде

\log _\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \log _2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) 3.

Воспользовавшись свойствами убывания функции y= логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) t при t принадлежит {0; плюс принадлежит fty ), получим равносильную данному неравенству систему

 система выражений логарифм по основанию (2) дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 3, логарифм по основанию (2) дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0. конец системы .

Перепишем ее в виде

 система выражений логарифм по основанию (2) дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше логарифм по основанию (2) 8, логарифм по основанию (2) дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше логарифм по основанию (2) 1. конец системы .

Воспользовавшись свойством возрастания функции y= логарифм по основанию 2 t при t принадлежит (0; плюс принадлежит fty ), получим равносильную систему

 система выражений дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 8, дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0. конец системы .

Заметим, что третье неравенство можно опустить, так как его выполнение гарантируется вторым неравенством.

 система выражений дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 8, дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1. конец системы . \qquad(1)

1) Решим

 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби минус 8 меньше 0 равносильно дробь: числитель: x минус 1 минус 16 плюс 8x, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 9x минус 17, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 0 равносильно (9x минус 17)(x минус 2) больше 0.

Из рисунка а видно, что решением последнего неравенства является множество  левая круглая скобка минус принадлежит fty ; дробь: числитель: 17, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup (2; плюс принадлежит fty ).


2) Решим

 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2 минус x конец дроби минус 1 больше 0 равносильно дробь: числитель: x минус 1 минус 2 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 равносильно (2x минус 3)(x минус 2) меньше 0.

 

Из рисунка б видно, что решением последнего неравенства является множество  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая круглая скобка . Найдем решение системы (1) (см. рис.).

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 17, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3604

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические неравенства
?
Сложность: 5 из 10