PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
3. Множество C точек комплексной плоскости задано уравнением 
а) Нарисуйте множество C.
б) Найдите такие точки 
расстояние от которых до мнимой оси 
в) Найдите множество значений 
при 
г) Найдите множество значений 
в 
при
3. Даны три комплексных числа: 
а) Найдите расстояние от точки 
до фигуры, задаваемой уравнением 
б) Изобразите множество точек z комплексной плоскости, таких, что 
в) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами 
а U и V — множества точек, которые пробегают при этом 
и 
Изобразите пересечение множеств U и V.
г) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами 
Изобразите множество всех точек, которое пробегает при этом 
4. Пусть 
—
а) Докажите, что если 
то 
(O — начало координат).
б) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику с вершинами 
в) Пусть 
Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника ABC.
г) При каком значении z, где площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?
4. Пусть S — множество комплексных чисел, модуль которых равен единице.
а) Докажите, что все решения уравнения 
принадлежат множеству S.
б) Найдите все решения уравнения 
которые лежат в S.
в) Найдите все действительные a, при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
г) Найдите все значения 
при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
5. Пусть 
— точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, 
— окружность 
а 
— множество комплексных чисел, заданное неравенством 
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки 
до точек 
постоянна.
б) Изобразите на плоскости точки 
и множество комплексных чисел вида 
где 
в) Найдите такую точку 
и все такие равносторонние треугольники с вершинами на 
для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.
г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число 
4. Пусть 
— точки плоскости, изображающие комплексные числа u, v, w.
а) Пусть 
Найдите все такие w, что треугольник ABC равносторонний.
б) Пусть 
а число w является корнем уравнения 
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
в) Известно, что треугольник ABC равносторонний. Могут ли действительные и мнимые части всех чисел u, v и w быть рациональными одновременно?
г) Докажите, что если 
то треугольник ABC равносторонний.
3Б. Будем обозначать через 
точку плоскости, соответствующую комплексному числу z. Рассмотрим точки 
i = 1, 2, 3, где 
и 
а) Докажите, что если 
то точки 
i = 1, 2, 3, лежат на одной прямой.
б) Докажите, что если 
и 
то треугольник 
— прямоугольный (O — начало координат).
в) Пусть 
Найдите наибольшее значение отношения площадей треугольников и 
г) Докажите, что точки Ai, i = 1, 2, 3, и O лежат на одной окружности.
3В. Дано число 
такое что 
Сопоставим точкам 
плоскости (здесь 
— комплексные числа) числа 
и 
а) Известно, что 
Определите вид треугольника ABC.
б) Докажите, что числа u и v не изменятся, если треугольник ABC подвергнуть параллельному переносу.
в) Докажите, что треугольник ABC является равносторонним тогда и только тогда, когда 
г) Найдите множество значений u для всех треугольников ABC, накрываемых кругом радиуса 1.
Дан многочлен 
а) Пусть 
Найдите корни многочлена 
(и запишите их в алгебраической форме).
б) Найдите все пары 
при которых один из корней многочлена совпадает с серединой отрезка между двумя другими (здесь и в следующем пункте мы отождествляем комплексные числа с точками плоскости).
в) Найдите все пары при которых корни многочлена лежат в вершинах равностороннего треугольника.
г) Докажите, что если 
при всех то 
3А. Комплексное число 
называется гауссовым, если a и b — целые числа. Говорят, что гауссово число z кратно числу w, если 
где w и u — гауссовы числа. Пусть 
— множество всех гауссовых чисел, кратных 
а) Найдите все натуральные a, такие что 
и 
б) Докажите, что если 
и 
то z кратно 
в) Существуют ли числа 
такие что 
г) Докажите, что для всякого гауссова числа z найдется число 
такое что 
3А. Пусть 
В следующих далее формулировках мы для краткости будем отождествлять комплексные числа с их изображениями как точек плоскости.
а) Пусть 
Верно ли, что при всех 
корни многочлена лежат на единичной окружности?
б) Пусть 
и 
Найдите наименьшее значение модуля разности корней многочлена 
в) Пусть zk, 
г) Пусть m — наибольшее значение 
при 
Докажите, что 
при всех 
Отображение f сопоставляет комплексному числу z число 
где 
и a — некоторые фиксированные комплексные числа.
а) Известно, что 
и 
Найдите 
б) Известно, что 
Изобразите на плоскости множество всех возможных значений 
при условии, что 
в) Известно, что 
Изобразите на плоскости множество всех значений a, при которых 
г) Изобразите на плоскости множество всех значений a, для которых найдется такое значение u, что соответствующее отображение f переводит точки полуплоскости 
в точки полуплоскости 
Дан многочлен 
z — комплексное число.
а) Решите уравнение p(z) = 2.
б) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения p(z) = 2002.
в) Найдите все действительные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c не превосходят 1.
г) Существуют ли такие комплексные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c равны 1?
и радиусом единица (см. рис.).
—
где 
(см. рис.). Так как 
то 
то 
и 
поэтому искомое множество — это срединный перпендикуляр к отрезку AB, то есть прямая CD.
—
и 
—
и 
Отрезок BC симметричен относительно нуля, поэтому образы U и V при этих поворотах совпадают.
где 
откуда
где 
и 
Значит, 
причем 
то есть искомый образ — дуга параболы 
между точками с координатами 
—
и 
переводит треугольник с вершинами 
значит, (см. пункт а), точка O — центр описанной около данного треугольника окружности с радиусом 
При 
треугольник вырождается, при остальных значениях z, где 
поэтому для площади S подобного ему треугольника ABC (см. пункт б)) получаем формулу 
а 
Достаточно рассматривать случай, когда 
тогда 
производная примет вид 
при 
является наибольшим.
получим уравнение 
следовательно, 
так что 
поэтому и 
Можно, конечно, извлечь кубический корень из 
к примеру, 
но это несколько глуповато.
то 
откуда 
то 
и 
теперь из первого уравнения следует, что 
Система 
равносильна системе 
и 
и 
либо противоположны, то есть 
то есть 
то угол между 
(см. рис), значит, 
лежит на пересечении двух окружностей (см. рис): 
и 
откуда 
с, соответственно, вещественной осью и самой окружностью S. Поскольку это отображение есть композиция следующих двух: 
и 
первое из которых переводит окружность S на себя, то достаточно найти ее образ при втором отображении. Итак, нужно найти (описать, нарисовать) множество 
где 
Поскольку 
и 
то образы отрезков 
и 
симметричны относительно начала координат. Далее, 
и 
следовательно, образы отрезков 
и 
симметричны относительно оси ординат. Таким образом, достаточно нарисовать множество 
и выглядит так, как изображено на рисунке. Произведя две симметрии относительно осей координат, получим кривую, изображенную на рисунке (штриховой линией отмечена единичная окружность).
заданное неравенством\linebreak 
является кругом, диаметр которого совпадает с отрезком 
вещественной оси. Так как 
(умножение на i) и параллельного переноса на вектор, 
поэтому 
при 
реализуется в точке 
треугольник — произвольный; г) да, верно.
вокруг начала координат — первой вершины этого треугольника (рис. 188). По геометрическому смыслу умножения комплексных чисел для этого достаточно умножить v на число 
поэтому данное уравнение можно записать в виде 
получим, что 
откуда 
Таким образом, числа a, b и c являются корнями уравнения 
так что 
В силу 
— середина отрезка 
Тогда 
(по условию 
) 
Вектор 
имеет координаты 
а вектор 
— координаты 
Таким образом, скалярное произведение 
таким образом, 
Но из рисунка справа ясно, что наибольшее значение выражения 
достигается, если 
Легко видеть, что при этом значение 
равно 
виден из точек O и 
под равными углами и отрезок 
виден под равными углами из точек O и 
Но покажем, например, первое (второе аналогично). Для этого достаточно показать, что 
или 
то все данные точки лежат на одной прямой. Однако:
однако всюду в дальнейшем нам потребуются лишь следующие два свойства этого числа: 
второе — из того, что ε — отличный от 1 кубический корень из 1.
и 
откуда 
Следовательно, точка B получена из точки C поворотом на угол 
вокруг начала координат, совпадающего с вершиной A этого треугольника. Поэтому он — равносторонний. 
Если треугольник ABC — равносторонний, то точка B получается из точки C поворотом на угол 
поэтому либо 
либо 
откуда 
Обратно, если положить 
где 
является значением суммы 
для некоторой тройки 
в силу формул Виета 
поэтому 
значит, 
то центр треугольника совпадает с началом координат, поэтому
Следовательно, они также и корни уравнения 
которое тем самым имеет по крайней три различных корня. Значит, 
Тогда 
то найдется решение системы неравенств 
Действительно, если 
то и 
и 
во второе выражение получаем значения противоположных знаков.
a любое;
Число 
тогда и только тогда, когда z — гауссово, но 
и 
делятся на 5. 
то можно записать:
где x и y — целые числа.
то 
так что 
Окончательно получаем: 
заметим, что, поскольку числа u и v гауссовы, 
тоже рационально. С другой стороны, если 
то 
а потому 
рационально, а число 
иррационально, то 
— иррациональное число, но оно, очевидно, равно 
имеют вид
где 
вершины которого — числа из множества K. Понятно, что можно ограничиться рассмотрением гауссовых чисел, лежащих внутри или на сторонах квадрата OABC, где A — соответствует числу 
B — числу 
C — числу 
(остальные случаи можно свести к этому соответствующим параллельным переносом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, 
многочлена 
так 
и положим 
Тогда 
т. е. 
— произвольных точек единичного круга — ближайшей к точке 4 является точка 1.
Далее, так как 
и 
то 
Следовательно, 
не лежит на единичной окружности, в частности, 
Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее 
С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, 
так что 
в частности, 
Отсюда следует, что 
— противоречие.
откуда 
По условию 
поэтому искомое множество образовано точками, из которых отрезок с концами в z и w виден под углом 
Пусть u = v + iw, a = b + ic. Так как
то v = 0. Теперь пусть z = x + iy, x, 
и y ⩾ 0. Имеем: 
при всех y ⩾ 0 тогда и только 
Значит, либо 
По теореме Виета для уравнения 
получаем 
при вещественных z. Ее производная равна 
поэтому производная отрицательна при 
и положительна при 
и при 
Значит, функция возрастает до 
причем 
причем 
и затем возрастает. Ее примерный график показан на рисунке (см. рис.) и из него видно, что при 
уравнение 
имеет три вещественных корня (на концах промежутка — с учетом кратности) и все они лежат на отрезке 
поэтому условие выполняется.
кроме 
в уравнение годится 
При 
уравнение имеет один вещественный корень, причем из того же графика видно, что он меньше −1, поэтому условие не выполняется уже для него. При 
уравнение имеет ровно один вещественный корень. Он становится больше 1 при 
так что осталось разобраться со случаем 
Обозначим вещественный корень за x, то есть 
и запишем уравнение в виде 
Преобразуем его
Оно не имеет вещественных корней (у исходного уравнения был лишь один вещественный корень), а его комплексные корни сопряжены. Значит, они равны по модулю. С другой стороны, модуль их произведения равен 
поэтому модуль каждого из них равен 
Получаем неравенство 
откуда 
и 
(чтобы получался один вещественный корень) получаем 
Поскольку функция 
возрастает при 
осталось только вычислить ее значение при 
Сделаем это, учитывая что 
Поскольку произведение его корней равно c по теореме Виета и модули всех корней должны быть равны 1, то и 
Запишем z и c в тригонометрической форме. Пусть 
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Получим:
Но оно имеет лишь два решения на промежутке 
значит, исходное уравнение будет иметь не более двух решений, равных по модулю единице. Ответ нет, это невозможно.
г) нет, не существуют.