PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Используя формулу косинуса тройного угла, получим 
Обозначим 
тогда получаем
Значит либо 
либо 
либо 
То есть либо 
либо 
либо 
Окончательно тогда 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Получим 
и 
Такой угол есть, поскольку сумма квадратов этих чисел равна 1. Составим уравнение:
Получаем 
откуда 
);
Получаем 
откуда 
);
Получаем 
откуда 
);
Получаем 
откуда 
).
получим: 
и уравнение примет вид
где 
при 
и 
поэтому 
не принимает таких значений.
отсюда 
получаем 
во втором случае 
— такие x не подходят. Из первого набора подходят только четные k, поскольку при нечетных 
получаем 
(если 
то 
при условии 
и такие решения не подходят, либо 
или 
или 
и 
Такие решения не подходят.
тогда
при 
во второй серии 
при 
и найдите его наименьший по модулю корень.
Во второй серии, это 
Но 
так как 
убывает. Поэтому наименьшее по модулю корни, это 
если один из его корней равен 
получаем 
причем одним из его корней является 
Подставляя его, получим 
откуда 
Решим теперь уравнение 
то есть 
то при 
и решения первой системы: 
при 
при 
Отбор корней можно производить, пользуясь тригонометрическим кругом и учитывая, что общим периодом функций 
и 
является 
На рисунке светлыми кружками выделены корни уравнения 
Окончательно для второй системы получаем: 
Раскрывая знак модуля в правой части уравнения, заменим исходное уравнение совокупностью двух систем:
входят в множество решений 
причем если 
Для уравнения 
что равносильно
то 
если 
то 
Таким образом, решениями первой системы будут числа 
и 
отсюда либо 
Пусть 
Тогда и 
т. е. система несовместна. 
то 
или 
Если 
то 
и 
то либо 
либо 
Если 
— серия удовлетворяет системе. Если 
— серия не удовлетворяет системе. Решениями второй системы будут числа 
получим 
откуда 
а значит 
Имеем: 
лежит в первой четверти. Значит, 
существует и не равен нулю, то есть при 
где 
Переписав левую часть уравнения как 
и домножив обе части уравнения на 
получим:
то есть 
то есть 
Выясним, когда это условие не выполнено и исключим соответствующие x из ответа, получаем 
было кратно 9, то есть чтобы k давало остаток 4 при делении на 9.