Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2575

Решите уравнение  дробь: числитель: косинус 3x, знаменатель: тангенс x конец дроби = синус 3x минус 2 синус x.

Спрятать решение

Решение.

Выражение, стоящее в левой части уравнения, определенно, если  тангенс x существует и не равен нулю, то есть при x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, где k принадлежит Z . Переписав левую часть уравнения как  дробь: числитель: косинус 3x умножить на косинус x, знаменатель: синус x конец дроби и домножив обе части уравнения на  синус x, получим:

 косинус 3x косинус x= синус 3x синус x минус 2 синус в квадрате x равносильно косинус 3x косинус x минус синус 3x синус x плюс 2 синус в квадрате x=0 равносильно косинус 4x плюс 2 синус в квадрате x=0 равносильно
 равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 1(1 минус косинус 2x)=0 равносильно косинус 2x(2 косинус 2x минус 1)=0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k,n принадлежит Z .

Заметим, что при каждом из найденных x функция  тангенс x определена и не равна нулю, то есть все найденные x являются решениями исходного уравнения.

 

Ответ: \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n: k,n принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2581

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 8 из 10