Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2909
i

Ре­ши­те урав­не­ние 7 ко­си­нус 3x минус 3 ко­си­нус x=0 и най­ди­те его наи­мень­ший по мо­ду­лю ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как

 ко­си­нус 3x= ко­си­нус в кубе x минус 3 синус в квад­ра­те ко­си­нус x=4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x,

то ис­ход­ное урав­не­ние после оче­вид­ных пре­об­ра­зо­ва­ний при­мет вид:

 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 7 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0,7 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 6=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи m,x=\pm арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та плюс Пи n, конец со­во­куп­но­сти . m, n, при­над­ле­жит Z .

В пер­вой серии ре­ше­ний наи­мень­шее по мо­ду­лю корни, это \pm дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2. Во вто­рой серии, это  \pm арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Но  арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2, так как  ко­си­нус x на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка убы­ва­ет. По­это­му наи­мень­шее по мо­ду­лю корни, это \pm арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка \pm арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2915

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2002 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10