Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2745
i

Ре­ши­те урав­не­ние \ctg x минус тан­генс x минус 2 тан­генс 2x минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

\ctg x минус тан­генс x минус 2 тан­генс 2x минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс x конец дроби минус тан­генс x минус 2 тан­генс 2x минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: тан­генс x конец дроби минус 2 тан­генс 2x минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 2 тан­генс x конец дроби минус 2 тан­генс 2x минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 2x конец дроби минус 2 тан­генс 2x минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 2x конец дроби минус тан­генс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те 2x, зна­ме­на­тель: тан­генс 2x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но 4 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те 2x, зна­ме­на­тель: 2 тан­генс 2x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 4x конец дроби минус 4 тан­генс 4x=8 тан­генс x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 4 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 4x конец дроби минус тан­генс 4x пра­вая круг­лая скоб­ка =8 тан­генс x рав­но­силь­но 4 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те 4x, зна­ме­на­тель: тан­генс 4x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =8 тан­генс x рав­но­силь­но 8 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те 4x, зна­ме­на­тель: 2 тан­генс 4x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =8 тан­генс x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 8x конец дроби =8 тан­генс x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 8x конец дроби = тан­генс x рав­но­силь­но \ctg 8x= тан­генс x рав­но­силь­но \ctg 8x=\ctg левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 8x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x плюс Пи k рав­но­силь­но 9x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби Пи k рав­но­силь­но k при­над­ле­жит Z .

Кроме того, долж­ны быть опре­де­ле­ны \ctg x,  тан­генс x,  тан­генс 2x,  тан­генс 4x, то есть

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x не равно 0, ко­си­нус x не равно 0, ко­си­нус 2x не равно 0, ко­си­нус 4x не равно 0. конец си­сте­мы .

Можно за­ме­нить эти усло­вия одним,

 синус x ко­си­нус x ко­си­нус 2x ко­си­нус 4x не равно 0.

Пре­об­ра­зу­ем это усло­вие:

 синус x ко­си­нус x ко­си­нус 2x ко­си­нус 4x не равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x ко­си­нус 2x ко­си­нус 4x не равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус 4x ко­си­нус 4x не равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби синус 8x не равно 0.

Тре­бу­ет­ся, чтобы  синус 8x не равно 0, то есть 8x не равно Пи n, n при­над­ле­жит Z . Вы­яс­ним, когда это усло­вие не вы­пол­не­но и ис­клю­чим со­от­вет­ству­ю­щие x из от­ве­та, по­лу­ча­ем

8 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи n рав­но­силь­но 8 левая круг­лая скоб­ка Пи плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка =9 Пи n рав­но­силь­но 8 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2k пра­вая круг­лая скоб­ка =9n.

Итак, нель­зя чтобы 1 плюс 2k было крат­но 9, то есть чтобы k да­ва­ло оста­ток 4 при де­ле­нии на 9.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби :k не равно 9n плюс 4;k,n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2751

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 10 из 10