Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2538
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x = | синус 2x|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния:  ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x = 2 ко­си­нус 2x ко­си­нус x. Рас­кры­вая знак мо­ду­ля в пра­вой части урав­не­ния, за­ме­ним ис­ход­ное урав­не­ние со­во­куп­но­стью двух си­стем:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус 2x ко­си­нус x минус синус 2x = 0, синус 2x боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус 2x ко­си­нус x минус синус 2x = 0, синус 2x мень­ше 0. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Пре­об­ра­зу­ем первую си­сте­му к виду:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, синус 2x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = 0, ко­си­нус 2x минус синус x = 0, конец си­сте­мы . синус 2x боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = 0,1 минус синус x минус 2 синус в квад­ра­те x = 0, конец си­сте­мы . синус 2x боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 плюс Пи k, синус x = минус 1, синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . синус 2x боль­ше или равно 0. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что ре­ше­ния урав­не­ния  синус x = минус 1 вхо­дят в мно­же­ство ре­ше­ний  ко­си­нус x = 0, при­чем если  ко­си­нус x = 0, то и  синус 2x боль­ше или равно 0. Для урав­не­ния  синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , что рав­но­силь­но

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи m_1 ,x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m_2, конец со­во­куп­но­сти . m_1, m_2 при­над­ле­жит Z ,

нужно про­ве­рить вы­пол­не­ние усло­вия: если x = дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи m_1, то  синус 2x = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 плюс 4 Пи m_1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0; если x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m_2, то  синус 2x = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми пер­вой си­сте­мы будут числа  дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 плюс Пи k и  дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи m, k, m при­над­ле­жит Z .

Рас­смот­рим вто­рую си­сте­му. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние к виду  левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x = 0, от­сю­да либо  ко­си­нус x = 0, либо  ко­си­нус 2x плюс синус x = 0. Пусть  ко­си­нус x = 0. Тогда и  синус 2x = 0, т. е. си­сте­ма не­сов­мест­на.

Если  ко­си­нус 2x плюс синус x = 0, то 1 плюс синус x минус 2 синус в квад­ра­те x = 0, или  левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0. Если  синус x = 1, то  ко­си­нус x = 0 и  синус 2x = 0, си­сте­ма не­сов­мест­на.

Если  синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то либо x = минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи n_1, либо x = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n_2, n_1, n_2 при­над­ле­жит Z . Если x = минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи n_1, то  синус 2x = синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 плюс 4 Пи n_1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0,  — серия удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме. Если x = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n_2, то  синус 2x = синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи n_2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,   — серия не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме. Ре­ше­ни­я­ми вто­рой си­сте­мы будут числа  минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Объ­еди­няя ре­ше­ния двух си­стем, по­лу­чим ответ.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 плюс Пи k; \pm дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи n : k, n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2544

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 7 из 10