PDF-версии: 
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
Решение. Изобразим данные линии (см. рис.): прямую
и параболу 
полученную сдвигом параболы 
на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Найдем абсциссу точки пересечения прямой и параболы:
Площадь сегмента численно равна:
Искомая площадь равна разности площадей прямоугольного треугольника ABC и площади параболического сегмента. Получаем:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
где 
причем 
так как 
и 
Значит, 
Площадь криволинейной трапеции определим следующим образом: 
и 
осями абсцисс и ординат.
и графика показательной функции. Уравнение 
имеет единственное решение, т. к. его левая часть вырастает, а правая убывает при всех x. Следовательно, абсцисса точки B равна 1, а ее ордината 
Найдем площади:
и 
и 
т. е. 
где точка пересечения 
т. е. 
где точка пересечения 
получим 
Пусть 
где 
тогда 
т. е. 
имеем 
Получили точку 
и 
и 
пересечение графиков 
это точка 
пересечение графиков 
пересечение графиков 
Площадь фигуры ABCD может быть найдена по частям.
и 
и найти площадь как
и 
получим 
т. е. 
то 
то 
Найдём абсциссу пересечения данных линий:
и касательной к этому графику в точке с абсциссой 
можно написать уравнение требуемой касательной
проходит выше касательной. Поэтому искомая площадь равна
параллельно прямой 
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, этой касательной и осью ординат.
то значение производной функции 
в точке касания равно −2. Поскольку 
получаем 
откуда 
— абсцисса точки касания. Тогда ордината точки касания равна 
и уравнение касательной будет 
Раскроем скобки и получим 
Функция 
и графиком её первообразной 
зная, что 
при этом 
откуда 
то есть 
откуда 
например 
получаем 
поэтому график функции 
проходит выше графика функции 
Тогда площадь равна
параболой 
Найдем
неравенство примет вид 
то
и 
Отсюда 
или 7 : 2, или 
или 3,5.)
т. е. 
т. е. 
Решение последнего уравнения находится по рисунку и проверяется непосредственной подставкой. Можно также решить уравнение 
график которой касается прямой 
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми 
и 
уравнение 
должно иметь единственный корень. Приведем это уравнение к стандартному виду: 
Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант D равен нулю. В данном случае 
Очевидно, что 
когда 
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: 
пересекается с прямой 
т. е. выполняется: 
Отсюда 
Значит, точка B имеет координаты 
Первую координату точки D найдем из условия, что прямая BD пересекает ось абсцисс в точке D , т. е. 
и 
тогда 
Найдем: 
и 
и 
пересекаются в начале координат. Линии 
пересекаются в точке 
как показано на рисунке. Аналитически этот факт обосновывается следующим образом: 
тогда 
Замечаем, что −1 корень последнего уравнения. Отсюда 
не имеет корней. Значит, 
единственный корень уравнения (1). Таким образом, 
получим 
и 
Составим уравнение 
и приведем его к виду 
Пусть 
тогда 
Это уравнение имеет единственный корень 
оказательство аналогично предыдущему. Отсюда 
и 
Значит, единственная точка пересечения линий 
это точка 
Это фигура MKLN. Ее площадь равна:
причем OP перпендикулярна MK, Тогда 
и 
и затем аналитически подтверждаем, что она удовлетворяет уравнению каждой линии. Теперь остается заметить, что эти линии пересекаются один раз, так как функция 
корней не имеет, т. к. 
Следовательно, уравнение (2) имеет единственное 
и 
и 
— точка 
Пересечение линий 
— точка пересечения этих линий. Пересечение линий 
есть точка 
она единственная, так как 
Для решения задачи можно из площади прямоугольника 
вычесть сумму площадей криволинейных трапеций 
и 
Найдём: 
фигура 
равна фигуре 
(см. рис.). Отсюда следует, что площадь фигуры 
т. е. равна 4, что мы и получили выше (см. также решение задания 5 в работе № 7, вариант Ⅰ).
и прямыми 
(при 
меньше 1.
т. е. 
Значит, искомая площадь может быть вычислена как 
так как 
Таким образом, 
что и требовалось доказать.
и 
имеет вид 
т. е. является полупараболой с вершиной 
имеет вид 
при этом точкой симметрии является 
проходит через точки 
аналитически проверяем, что действительно 
Абсцисса общей точки линий 
аналитически проверяем, что действительно 
