Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3226

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в кубе , y=3 минус x и y= минус 4x.

Спрятать решение

Решение.

Изобразив схематически графики трех функций (см. рис.), найдем абсциссы точке A и C. Для A: 3 минус x= минус 4x, т. е. x= минус 1. Для C:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в кубе =3 минус x, т. е. x=2. Решение последнего уравнения находится по рисунку и проверяется непосредственной подставкой. можно также решить уравнение

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в кубе =3 минус x равносильно x в кубе плюс 8x минус 24=0 равносильно

 равносильно x в кубе минус 8 плюс 8x минус 16=(x минус 2)(x в квадрате плюс 2x плюс 4) плюс 8(x минус 2)=(x минус 2) умножить на (x в квадрате плюс 2x плюс 12) равносильно x в кубе плюс 8x минус 24=0 равносильно x=2.

Искомую площадь S вычислим как сумму площадей треугольника AOB и криволинейной трапеции BOC. Найдем

 S_AOB = принадлежит t \limits_ минус 1 в степени (0) левая круглая скобка 3 минус x минус ( минус 4x) правая круглая скобка dx = принадлежит t \limits_ минус 1 в степени (0) левая круглая скобка 3 плюс 3x правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 3x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка | \limits_ минус 1 в степени (0) = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби

и

 S_BOC = принадлежит t \limits_0 в квадрате левая круглая скобка 3 минус x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка 3x минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 32 конец дроби правая круглая скобка | \limits_0 в квадрате = дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ,

тогда S= S_AOB плюс S_BOC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби =5.

 

Ответ:  5 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3232

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 5 из 10