Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3214

В каком отношении делится площадь четырехугольника ABCD, где A ( минус 4; 0), B ( минус 2; 4), C (2; 4), D (4; 0), параболой y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2?

Спрятать решение

Решение.

Изобразив четырехугольник и параболу на координатной плоскости, убедимся, что ABCD — трапеция и парабола проходит через ее вершины B и С (см. рис.). Для вычисления искомого отношения найдем площадь S трапеции ABCD, площадь ее заштрихованной части S1 и затем площадь незаштрихованной части трапеции S_2=S минус S_1. Найдем

 S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AD плюс BC)h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (8 плюс 4) умножить на 4=24.

Так как при  минус 2 меньше или равно x меньше или равно 2 неравенство примет вид  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2 меньше или равно 4, то

 S_1 = принадлежит t \limits_ минус 2 в квадрате левая круглая скобка 4 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка dx = принадлежит t \limits_ минус 2 в квадрате левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка dx =2 принадлежит t \limits_0 в квадрате левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка dx ,

здесь, мы использовали правило интегрирования четной функции. Также найдем

 принадлежит t \limits_0 в квадрате левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка | \limits_0 в квадрате =4 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ,

тогда S_1=2 умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби и S_2=24 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 56, знаменатель: 3 конец дроби . Отсюда S_1 : S_2 = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби : дробь: числитель: 56, знаменатель: 3 конец дроби = 2 : 7.

 

Ответ: 2 : 7. (Возможны также ответы  дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , или 7 : 2, или  дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , или 3,5.)

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3220

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 5 из 10