Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3214
i

В каком от­но­ше­нии де­лит­ся пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, где A левая круг­лая скоб­ка минус 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка минус 2; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , C левая круг­лая скоб­ка 2; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , D левая круг­лая скоб­ка 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , па­ра­бо­лой y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 2?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зив че­ты­рех­уголь­ник и па­ра­бо­лу на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, убе­дим­ся, что ABCD  — тра­пе­ция и па­ра­бо­ла про­хо­дит через ее вер­ши­ны B и С (см. рис.). Для вы­чис­ле­ния ис­ко­мо­го от­но­ше­ния най­дем пло­щадь S тра­пе­ции ABCD, пло­щадь ее за­штри­хо­ван­ной части S1 и затем пло­щадь не­за­штри­хо­ван­ной части тра­пе­ции S_2=S минус S_1. Най­дем

 S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AD плюс BC пра­вая круг­лая скоб­ка h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 8 плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4=24.

Так как при  минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2 не­ра­вен­ство при­мет вид  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 2 мень­ше или равно 4, то

 S_1 = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 2, левая круг­лая скоб­ка 4 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 2, левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx =2 ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx ,

здесь, мы ис­поль­зо­ва­ли пра­ви­ло ин­те­гри­ро­ва­ния чет­ной функ­ции. Также най­дем

 ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 2, =4 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

тогда S_1=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и S_2=24 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 56, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . От­сю­да S_1 : S_2 = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 56, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 2 : 7.

 

Ответ: 2 : 7. (Воз­мож­ны также от­ве­ты  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , или 7 : 2, или  дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , или 3,5.)

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3220

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10