Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3647
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2, y=2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 2 и y=1 минус x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фи­ки этих функ­ций (см. рис.).

1)  Гра­фик функ­ции y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 имеет вид y= ко­рень из x , т. е. яв­ля­ет­ся по­лу­па­ра­бо­лой с вер­ши­ной M левая круг­лая скоб­ка минус 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

2)  Гра­фик функ­ции y=2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 2 имеет вид y=2x в кубе , при этом точ­кой сим­мет­рии яв­ля­ет­ся K левая круг­лая скоб­ка 2; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

3)  Пря­мая y=1 минус x про­хо­дит через точки M и P левая круг­лая скоб­ка 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем те­перь общие точки этих линий. Абс­цис­са общей точки линий y=1 минус x и y=2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 2 опре­де­ля­ет­ся при­бли­жен­но с по­мо­щью гра­фи­ков на ри­сун­ке, т. е. x=0; ана­ли­ти­че­ски про­ве­ря­ем, что дей­стви­тель­но x=0. Абс­цис­са общей точки линий y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 и y=2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 2, x=3; ана­ли­ти­че­ски про­ве­ря­ем, что дей­стви­тель­но x=3. Ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры может быть най­де­на как раз­ность пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции M1MNN1 и суммы пло­ща­дей тре­уголь­ни­ка M1MP и кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции PNN1. На­хо­дим:

S_M_1MNN_1= ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 1 до 3, =
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на 2 плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 0 минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 8= дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

S_\Delta MM_1P= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MM_1 умно­жить на M_1P= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 2=2,

S_PNN_1= ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 1 до 3, = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4.

Итого по­лу­чим S_ис­ко­мая= дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 22, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 22, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3653

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 6 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025