Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3525
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми  y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та ,  y = левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе ,  y = 1 и  y = 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фи­ки дан­ных функ­ций (см. рис.). Пе­ре­се­че­ние гра­фи­ков  y = левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе и  y = 0 есть точка  A левая круг­лая скоб­ка минус 2; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ; пе­ре­се­че­ние гра­фи­ков  y = левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе и  y = 1 есть точка  B левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ; пе­ре­се­че­ние гра­фи­ков  y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та и  y = 0 есть точка  D левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ; пе­ре­се­че­ние гра­фи­ков  y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та и  y = 1 есть точка  C левая круг­лая скоб­ка 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Пло­щадь фи­гу­ры ABCD может быть най­де­на по ча­стям.

Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции АВК равна

 S_ABK = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до минус 1, левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 2 до минус 1, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 0 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Пло­щадь фи­гу­ры BKDC равна раз­но­сти пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ка BKQC и кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции DCQ. Най­дем их:

 S_DCQ = ин­те­грал \limits_0 в сте­пе­ни 1 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка | \limits_0 в сте­пе­ни 1 = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

 S_BKDC = 2 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Таким об­ра­зом,  S_ABCD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние.

Уча­щий­ся, за­ни­ма­ю­щий­ся в круж­ке или на фа­куль­та­ти­ве (а может быть, слы­шав­ший об этом на уроке или до­га­дав­ший­ся сам), может рас­смот­реть об­рат­ные со­от­вет­ству­ю­щим функ­ции  x = y в квад­ра­те и  x = ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та минус 2 и найти пло­щадь как

 ин­те­грал \limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка y в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dy = ин­те­грал \limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка y в квад­ра­те минус y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac13 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dy = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: y в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac43 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2y пра­вая круг­лая скоб­ка | \limits_0 в сте­пе­ни 1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3531

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 4 из 10