Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3274
i

Най­ди­те ту пер­во­об­раз­ную функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x плюс 4, гра­фик ко­то­рой ка­са­ет­ся пря­мой y=6x плюс 3. Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком най­ден­ной пер­во­об­раз­ной и пря­мы­ми y=6x плюс 3 и y=0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­во­об­раз­ные функ­ции f(x) опре­де­ля­ют­ся как

 ин­те­грал f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = x в квад­ра­те плюс 4x плюс c.

По­сколь­ку пря­мая y=6x плюс 3 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле y=x в квад­ра­те плюс 4x плюс c, урав­не­ние x в квад­ра­те плюс 4x плюс c=6x плюс 3 долж­но иметь един­ствен­ный ко­рень. При­ве­дем это урав­не­ние к стан­дарт­но­му виду:  x в квад­ра­те плюс 2x плюс c минус 3=0. Квад­рат­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, когда его дис­кри­ми­нант D равен нулю. В дан­ном слу­чае D=16 минус 4 умно­жить на c. Оче­вид­но, что D=0, когда c=4. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пер­во­об­раз­ная имеет вид: y=x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4.

Вы­чис­лим пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ном ли­ни­я­ми y=x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4, y=6x плюс 3 и y=0. Пло­щадь за­дан­ной фи­гу­ры удоб­нее всего вы­чис­лять как раз­ность пло­ща­дей кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции ABC и тре­уголь­ни­ка DBC (см. рис.). Най­дем ко­ор­ди­на­ты точек B и D. В точке B па­ра­бо­ла y=x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой y=6x плюс 3, т. е. вы­пол­ня­ет­ся: x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4=6x плюс 3. От­сю­да x=1 и тогда y=9. Зна­чит, точка B имеет ко­ор­ди­на­ты  левая круг­лая скоб­ка 1; 9 пра­вая круг­лая скоб­ка . Первую ко­ор­ди­на­ту точки D най­дем из усло­вия, что пря­мая BD пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в точке D , т. е. 6x плюс 3=0 и x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда y=0 и D левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем:

 S_\Delta DBC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на CB умно­жить на DC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

и

 S_ABC = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 1, левая круг­лая скоб­ка плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = \left дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | пре­де­лы: от минус 2 до 1, =9.

Ис­ко­мая пло­щадь равна S_ABC минус S_\Delta DBC=9 минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: пер­во­об­раз­ная y=x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4, пло­щадь  дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3280

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 1
? Классификатор: На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных
?
Сложность: 5 из 10