Найдите ту первообразную функции график которой касается прямой
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми
и
Первообразные функции f(x) определяются как
Поскольку прямая является касательной к параболе
уравнение
должно иметь единственный корень. Приведем это уравнение к стандартному виду:
Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант D равен нулю. В данном случае
Очевидно, что
когда
Таким образом, искомая первообразная имеет вид:
Вычислим площадь фигуры, ограниченном линиями
и
Площадь заданной фигуры удобнее всего вычислять как разность площадей криволинейной трапеции ABC и треугольника DBC (см. рис.). Найдем координаты точек B и D. В точке B парабола
пересекается с прямой
т. е. выполняется:
Отсюда
и тогда
Значит, точка B имеет координаты
Первую координату точки D найдем из условия, что прямая BD пересекает ось абсцисс в точке D , т. е.
и
тогда
и
Найдем:
и
Искомая площадь равна
Ответ: первообразная площадь
Задание парного варианта: 3280

