Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3502

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= минус 4(x плюс 3) в кубе , y плюс x=0 и y=2x.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, что линии y= минус x и y=2x пересекаются в начале координат. Линии y= минус x и y= минус 4(x плюс 3) в кубе пересекаются в точке N ( минус 4; 4) как показано на рисунке. Аналитически этот факт обосновывается следующим образом:

4(x плюс 3) в кубе минус x=0 равносильно 4(x плюс 3) в кубе минус (x плюс 3) плюс 3=0.

Пусть x плюс 3=t, тогда 4t в кубе минус t плюс 3=0. Замечаем, что −1 корень последнего уравнения. Отсюда

(t плюс 1)(4t в квадрате минус 4t плюс 3)=0. \qquad(1)

Квадратный трехчлен 4t в кубе минус t плюс 3 не имеет корней. Значит, t= минус 1 единственный корень уравнения (1). Таким образом, x=t минус 3, получим x= минус 4 и x=4.

Найдем, где пересекаются линии y=2x и y= минус 4(x плюс 3) в кубе . Составим уравнение 2(x плюс 3) в кубе плюс x=0 и приведем его к виду 2(x плюс 3) в кубе плюс (x плюс 3) минус 3=0. Пусть x плюс 3=t, тогда 2t в кубе плюс t минус 3=0. Это уравнение имеет единственный корень t=1, оказательство аналогично предыдущему. Отсюда x= минус 2 и y= минус 4. Значит, единственная точка пересечения линий y=2x и y= минус 4(x плюс 3) в кубе , это точка k ( минус 2; минус 4).

Вычислим площадь S заданной фигуры (на рис. она заштрихована) как сумму площадей S1 и S2 двух фигур. Первая фигура ограничена линиями y= минус x, y= минус 4(x плюс 3) в кубе и x= минус 2. Это фигура MKLN. Ее площадь равна:

 S_1 = принадлежит t \limits_ минус 4 в степени ( минус 2) левая круглая скобка минус x плюс 4(x плюс 3) в кубе правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс (x плюс 3) в степени 4 правая круглая скобка | \limits_ минус 4 в степени ( минус 2) =6.

Вторая фигура — треугольник KMO, у которого MK=6, OP=2, причем OP перпендикулярна MK, Тогда S_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на 6=6 и S=6 плюс 6=12.

 

Ответ: 12.

 

Замечания.

1) Некоторые учащиеся догадались провести на чертеже через точку L прямую NK и заметили симметрию, а следовательно, и равенство фигур, заштрихованных на рисунке. Искомую площадь S они вычислили как площадь треугольника NKO, т. е. как сумму площадей треугольников NLO и KLO. Такие учащиеся обошлись без интеграла, что только должно поощряться.

2) Укажем другой способ нахождения точек пересечения линий y=2x и y= минус 4(x плюс 3) в кубе . Находим графически точку K ( минус 2; минус 4) и затем аналитически подтверждаем, что она удовлетворяет уравнению каждой линии. Теперь остается заметить, что эти линии пересекаются один раз, так как функция y=2x возрастает, а y= минус 4(x плюс 3) в кубе убывает.

3) Укажем также другой (менее рациональный) способ нахождения точек пересечения линий y= минус x и y= минус 4(x плюс 3) в кубе . Запишем уравнение

4(x плюс 3) в кубе минус x=0, \qquad(2)

и выполним его преобразования:

4x в кубе плюс 36x в квадрате плюс 107x плюс 108=0 равносильно 4x в кубе плюс 16x в квадрате плюс 20x в квадрате плюс 80x плюс 27x плюс 108=0 равносильно
 равносильно 4x в квадрате (x плюс 4) плюс 20x(x плюс 4) плюс 27(x плюс 4)=0 равносильно (x плюс 4)(4x в квадрате плюс 20x плюс 27)=0.

Уравнение 4x в квадрате плюс 20x плюс 27=0 корней не имеет, т. к. D меньше 0. Следовательно, уравнение (2) имеет единственное решение x= минус 4.

4) Учащийся совершенно не обязан обосновывать в данном случае, что искомый корень единствен, так как фигура, площадь которой мы ищем, видна из чертежа (верхний и нижний рис.).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3508

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 7, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 5 из 10