2.  Дана функ­ция

а)  Вы­ра­зи­те y как функ­цию от

б)  Ре­ши­те урав­не­ние

в)  Най­ди­те об­ласть зна­че­ний функ­ции y.

г)  Сколь­ко кор­ней в за­ви­си­мо­сти от a имеет урав­не­ние на от­рез­ке

Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное ре­ше­ние си­сте­мы

в)  Най­ди­те об­ласть зна­че­ний функ­ции f.

г)  Пусть   — наи­боль­шее зна­че­ние f на от­рез­ке Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции g на мно­же­стве ве­ще­ствен­ных чисел.

Даны функ­ции

а)  Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, ко­то­рая огра­ни­че­на гра­фи­ка­ми дан­ных функ­ций и пря­мы­ми и

б)  Пусть и   — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с гра­фи­ка­ми функ­ций f и g. При каких m длина от­рез­ка с кон­ца­ми в этих точ­ках равна еди­ни­це?

в)  Су­ще­ству­ет ли от­ре­зок, концы ко­то­ро­го лежат на гра­фи­ке функ­ции f, а се­ре­ди­на сов­па­да­ет с точ­кой

г)  Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство се­ре­дин от­рез­ков, концы ко­то­рых лежат на гра­фи­ке функ­ции f.

Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те наи­боль­шую длину про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти функ­ции f.

в)  Сколь­ко ре­ше­ний (в за­ви­си­мо­сти от a) имеет урав­не­ние

г)  Рас­смот­рим тело, огра­ни­чен­ное плос­ко­стя­ми и по­верх­но­стью, по­лу­ча­е­мой при вра­ще­нии гра­фи­ка функ­ции f во­круг пря­мой (ле­жа­щей в плос­ко­сти Oxy). При каком m объем этого тела будет наи­мень­шим?

Дана функ­ция

а)  Пусть a  =  1. Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все такие a, при ко­то­рых

в)  Най­ди­те все такие a, для ко­то­рых при всех

г)  Най­ди­те все такие a, при ко­то­рых гра­фик функ­ции f имеет центр сим­мет­рии.

Дана функ­ция

а)  Вы­чис­ли­те

б)  Ре­ши­те урав­не­ние

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

г)  Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные числа a такие, что вы­пол­не­ния не­ра­вен­ства до­ста­точ­но для вы­пол­не­ния не­ра­вен­ства

Пусть

а)  Най­ди­те все для ко­то­рых

б)  Ре­ши­те урав­не­ние

в)  Най­ди­те все a, такие что урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния на от­рез­ке

г)  Су­ще­ству­ет ли мно­го­член q, для ко­то­ро­го при всех

Дана функ­ция

а)  Пусть Най­ди­те корни функ­ции f.

б)  Най­ди­те все a, такие что

в)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых функ­ция f мо­но­тон­на на от­рез­ке

г)  Вы­чис­ли­те пре­дел

Дана функ­ция

а)  Пусть Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых

в)  Пусть x_a  — бли­жай­ший к ко­рень урав­не­ния Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние

г)  Най­ди­те все a, при ко­то­рых при всех

Дана функ­ция

а)  Най­ди­те a и b, если из­вест­но, что числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми функ­ции f.

б)  Пусть Ре­ши­те не­ра­вен­ство

в)  Пусть Ре­ши­те урав­не­ние

г)  Най­ди­те все пары при ко­то­рых пе­ри­од функ­ции f равен

Дана си­сте­ма

а)  Ре­ши­те си­сте­му при

б)  Ре­ши­те си­сте­му при

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка, длины по­сле­до­ва­тель­ных сто­рон ко­то­ро­го равны 3, 1, 3 и 4.

г)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех точек таких что дан­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние.

2.  Дана функ­ция

а)  Пусть a  =  1. Ре­ши­те урав­не­ние f(x)  =  f(2x).

б)  Пусть a > 2. Гра­фик функ­ции f похож на си­ну­со­и­ду, в част­но­сти, эта функ­ция мо­но­тон­на на тех же участ­ках, что и синус. До­ка­жи­те, что, од­на­ко, гра­фик y  =  f(x) не имеет цен­тра сим­мет­рии.

в)  Най­ди­те (в за­ви­си­мо­сти от a) наи­боль­шее зна­че­ние суммы

г)  Пусть a  =  −1. Рас­смот­рим мно­же­ство огра­ни­чен­ной осью абс­цисс и дугой гра­фи­ка y  =  f(x), Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная в точка яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной хорды, концы ко­то­рой лежат на рас­смат­ри­ва­е­мой дуге гра­фи­ка дан­ной функ­ции.

Дана функ­ция

а)  Най­ди­те все зна­че­ния a такие, что функ­ция f при­ни­ма­ет толь­ко от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния на ин­тер­ва­ле

б)  Пусть a  =  2. Ре­ши­те урав­не­ние f(x) − f(2x)  =  2.

в)  Пусть a < −4. Точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка функ­ции f с гра­фи­ком функ­ции по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют­ся от­рез­ка­ми. Ука­жи­те наи­мень­шую и наи­боль­шую из длин по­лу­чен­ных от­рез­ков.

г)  Пусть a  =  2 и x та­ко­во, что Най­ди­те