а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде и пре­об­ра­зу­ем его:

где Зна­чит, либо либо При этом, од­на­ко, не долж­но об­ну­лять­ся. Для чисел из пер­во­го на­бо­ра это по­лу­чит­ся само. А вот для вто­ро­го на­бо­ра нужно разо­брать­ся по­дроб­нее. Если k не­чет­но, то Если k четно, но не крат­но 4, то По­это­му сле­ду­ет оста­вить толь­ко k крат­ные че­ты­рем, что даст от­ве­ты Но все эти от­ве­ты и так есть в пер­вом на­бо­ре.

б)  Вы­чис­лим этот ин­те­грал. Сразу за­ме­тим, что от смены знака у a функ­ция не из­ме­нит­ся, так что a можно счи­тать не­от­ри­ца­тель­ным. Най­дем:

Раз­бе­рем сразу слу­чай Оно под­хо­дит, по­сколь­ку для него подын­те­граль­ная функ­ция имеет вид При всех про­чих a можно вы­чис­лить этот ин­те­грал по общей фор­му­ле:

При это 0. При по­лу­ча­ем по­это­му и не­ра­вен­ство вы­пол­не­но. При вто­рой мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен и по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство от­ку­да

В част­но­сти, пер­вый под­хо­дя­щий от­ре­зок это и он смы­ка­ет­ся с уже по­лу­чен­ны­ми от­ве­та­ми и Окон­ча­тель­но,

ин­дек­сы сдви­ну­ты, чтобы от­ре­зок [1; 2] не вклю­чил­ся в ответ по­втор­но.

в)  Рас­смот­рим урав­не­ние За­ме­тим, что при это урав­не­ние вы­пол­нять­ся не может, по­это­му можно пе­ре­пи­сать урав­не­ние в виде или По­сколь­ку то и Бли­жай­шая к точка с таким свой­ством это или (рас­сто­я­ние от них до оди­на­ко­во и равно Оста­лось вы­брать под­хо­дя­щее a. На­при­мер при число будет кор­нем урав­не­ния Итак, наи­мень­шее зна­че­ние равно

г)  Как и в пунк­те б будем счи­тать, что a не­от­ри­ца­тель­на. Для на­ча­ла от­ме­тим, что если то при­чем то есть можно вы­брать такое x при ко­то­ром и Зна­чит,

Далее, по­сколь­ку функ­ция четна (как про­из­ве­де­ние двух чет­ных), можно рас­смат­ри­вать толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния x. При по­ло­жи­тель­ных x и по­лу­чим по­это­му функ­ции и (а с ними и их про­из­ве­де­ние) на всем от­рез­ке убы­ва­ют и по­ло­жи­тель­ны. По­это­му до­ста­точ­но про­ве­рить не­ра­вен­ство толь­ко при самом боль­шом зна­че­нии x. Под­ста­вим по­лу­чим

По­сколь­ку речь сей­час идет об углах пер­вой чет­вер­ти и   — убы­ва­ю­щая функ­ция для таких

углов, не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или

Итак, из по­ло­жи­тель­ных чисел под­хо­дят Ясно, что тоже под­хо­дит, по­сколь­ку на всем ука­зан­ном про­ме­жут­ке

По­это­му окон­ча­тель­ный ответ:

Ответ: а) б) или в) г)