Дана функция 
а) Пусть a = 1. Решите уравнение 
б) Найдите все такие a, при которых 
в) Найдите все такие a, для которых 
при всех 
г) Найдите все такие a, при которых график функции f имеет центр симметрии.
а) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его:
Можно выписать все корни на интервале 
(поскольку с периодичностью 
повторяются корни всех трех уравнений), чтобы потом не выписать один и тот же корень дважды. Получим 0; 
0; 
После удаления повторов получим 0; Окончательно, 
и 
где 
б) После подстановки получим
Обозначим 
тогда
где 
Тогда
где
в) Будем действовать аналогично. Решим неравенство 
т. е. 
Обозначим 
тогда
Отсюда 
Поскольку 
то вместе с каждым подходящим a подходит и 
поэтому можно исследовать только 
Кроме того, при 
получим 
поэтому не подходит.
При 
получим 
и 
при всех 
Поэтому неравенство выполнено.
При 
получим 
поэтому точка 
в которой нарушается неравенство, тоже попадет среди чисел вида ax при 
Такие a не подходят.
При 
длина промежутка 
составит
Но как следует из промежуточных результатов предыдущего пункта, это неравенство верно на промежутках 
или 
Поэтому все точки большего по длине промежутка не могут подходить в неравенство.
г) Сразу отметим, что при 
график — горизонтальная прямая. Она имеет центр симметрии. В остальных случаях снова сделаем замену
Обозначим тогда получим выражение 
представляющее собой квадратный трехчлен. Поэтому множество его значений при 
устроено так — наибольшее значение он имеет при 
и оно равно
а наименьшее — на одном из концов отрезка и оно равно 
поэтому наименьшее значение это −2.
При центральной симметрии относительно какой-либо точки координата по оси y тем меньше, чем больше она была раньше. Поэтому точки с минимальной координатой по y должны переходить в точки с максимальной и наоборот, а y — координата центра симметрии должна быть равна
Далее, график получается из графика 
сжатием вдоль оси абсцисс в a раз. Это сжатие не влияет на наличие или отсутствие центра симметрии. Поэтому либо при всех 
есть центр симметрии, либо его нет. Будем теперь считать, что 
Рассмотрим теперь точки 
В них обеих функция принимает наибольшее значение, а расстояние между ними составляет 
После центральной симметрии они должны превратиться в две точки, где функция принимает наименьшее значение, отстоящие друг от друга на такое же расстояние. Но точки, 
Противоречие.
Ответ: 
где 
Задание парного варианта: 2015