а)  Обо­зна­чим тогда По­лу­ча­ем

Тогда или Пер­вое не­воз­мож­но, по­сколь­ку Вто­рое же дает где Оста­лось вы­брать Ясно что по­это­му От­сю­да сле­ду­ет, что под­хо­дит толь­ко

б)  Возь­мем про­из­вод­ную от дан­ной функ­ции

Про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти f со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам зна­ко­по­сто­ян­ства Функ­ция не­пре­рыв­на. Най­дем ее корни, тогда на про­ме­жут­ках между ними она зна­ко­по­сто­ян­на. Тогда

Зна­чит, про­ме­жут­ка­ми зна­ко­по­сто­ян­ства будут и При этом на со­сед­них про­ме­жут­ках знаки раз­лич­ны:

На­ко­нец, при по­лу­ча­ем и по­это­му Оста­лось вы­брать из этих про­ме­жут­ков самый длин­ный. Оче­вид­но это пер­вый, его длина со­став­ля­ет

в)  Из преды­ду­ще­го пунк­та мы знаем, что воз­рас­та­ет на и и убы­ва­ет на и При этом и Таким об­ра­зом, мы знаем наи­мень­шее и наи­боль­шее зна­че­ние на каж­дом про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти и, зна­чит, знаем и все при­ни­ма­е­мые зна­че­ния.

Те­перь можно по­лу­чить ответ. Нас ин­те­ре­су­ет, сколь­ко раз функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние a. При   — ни од­но­го ре­ше­ния. При   — одно ре­ше­ние. При   — три ре­ше­ния. При   — че­ты­ре ре­ше­ния. При   — два ре­ше­ния. При   — ни од­но­го ре­ше­ния.

г)  При дан­ном x рас­сто­я­ние от пря­мой до гра­фи­ка будет по­это­му се­че­ни­ем тела будет круг ра­ди­у­са и пло­ща­ди и объем тела будет равен

Это квад­рат­ный трех­член от m, по­это­му он при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние при

Вы­чис­лим те­перь эти ин­те­гра­лы

и По­это­му ответ равен

Ответ: а) б) в) см. ри­су­нок; г)