а)  Пре­об­ра­зу­ем функ­цию

Сде­ла­ем те­перь за­ме­ну По­лу­чим:

Вто­рой слу­чай не­воз­мо­жен, В пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем:

б)  Пре­об­ра­зу­ем функ­цию не­мно­го иначе, начав с се­ре­ди­ны це­поч­ки пре­об­ра­зо­ва­ний:

Зна­чит,

Решим те­перь урав­не­ние:

в)  Вновь пре­об­ра­зу­ем нашу функ­цию:

Обо­зна­чим по­лу­чим вы­ра­же­ние За­ме­тим, что при по­лу­чим

при­чем мо­но­тон­но убы­ва­ет. По­это­му мо­но­тон­ность ис­ход­ной функ­ции и функ­ции рав­но­силь­ны. Но квад­рат­ный трех­член мо­но­то­нен на про­ме­жут­ке в тех и толь­ко тех слу­ча­ях, когда про­ме­жу­ток не со­дер­жит внут­ри себя его точку экс­тре­му­ма (она же  — абс­цис­са вер­ши­ны со­от­вет­ству­ю­щей ему па­ра­бо­лы). Итак,

г)  Ис­поль­зу­ем уже по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние для

До­ка­жем для на­ча­ла, что Проще всего для этого вос­поль­зо­вать­ся гео­мет­ри­че­ским пред­став­ле­ни­ем  — точки, со­от­вет­ству­ю­щие углам об­ра­зу­ют вер­ши­ны пра­виль­но­го n  — уголь­ни­ка. Сумма ко­си­ну­сов таких углов, сле­до­ва­тель­но, равна сумме про­ек­ций век­то­ров, иду­щих из цен­тра мно­го­уголь­ни­ка в его вер­ши­ны, на ось абс­цисс. Вме­сто суммы про­ек­ций можно взять про­ек­цию суммы. Но сумма таких век­то­ров равна нулю, по­сколь­ку пе­ре­хо­дит в себя при по­во­ро­те на угол что воз­мож­но лишь для ну­ле­во­го век­то­ра. Ну а про­ек­ция ну­ле­во­го век­то­ра  — ну­ле­вая. Есть и дру­гие до­ка­за­тель­ства. На­при­мер, сумму ко­си­ну­сов от ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии углов можно вы­чис­лить явно. Ана­ло­гич­но По­это­му

Тем самым мы уста­но­ви­ли. что по­сле­до­ва­тель­ность по­сто­ян­на при по­это­му и ее пре­дел равен

Ответ: а) б) в) г)