а)  Вы­ра­зим y как функ­цию от

Счи­тая ко­си­нус двой­но­го угла ар­гу­мен­том, по­лу­ча­ем:

б)  Решим урав­не­ние то есть по­лу­чим от­ку­да или Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:

в)  Функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по­это­му мно­же­ство зна­че­ний на сов­па­да­ет со мно­же­ством зна­че­ний квад­ра­тич­ной функ­ции

на от­рез­ке Функ­ция убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при по­это­му ее наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при оно равно  Так как а то наи­боль­шее зна­че­ние равно 5. Тем самым,

г)  Ис­поль­зуя по­стро­ен­ный выше гра­фик квад­рат­но­го трех­чле­на, за­клю­ча­ем, что урав­не­ние от­но­си­тель­но t:

—  при или при не имеет ре­ше­ний;

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, ле­жа­щее в про­ме­жут­ке

—  при имеет два ре­ше­ния, ле­жа­щих в про­ме­жут­ке

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Каж­дое из этих ре­ше­ний при­во­дит к урав­не­нию от­но­си­тель­но х. Функ­ция на от­рез­ке убы­ва­ет (см. рис.), при­ни­мая все зна­че­ния из от­рез­ка по од­но­му разу. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние от­но­си­тель­но х:

—  при или при не имеет ре­ше­ний;

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, ле­жа­щее в про­ме­жут­ке

—  при имеет два ре­ше­ния, ле­жа­щих в про­ме­жут­ке

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Ответ: а)  б)  в)  г) два корня при один ко­рень при при про­чих a нет кор­ней.