Даны функции 
а) Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиками данных функций и прямыми 
и 
и 
—
с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?
в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с 
г) Изобразите на координатной плоскости множество середин отрезков, концы которых лежат на графике функции f.
а) Заметим, что при 
получим 
поэтому 
то есть график 
проходит выше графика 
Значит,
б) Нужно, чтобы значения функций в точке x отличались на 1. Решим уравнение
Обозначая 
получим
Заметим, что 
поэтому уравнение 
решений не имеет. Все остальные корни лежат 
то есть 
то есть 
и 
то есть 
и 
где 
в) Обозначим координаты концов этого отрезка за 
и 
Концы отрезка симметричны относительно его середины. Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Складывая эти уравнения, получим 
или
В это уравнение подходит, например, 
потому что
Затем можно будет определить y из первого уравнения:
Таким образом, концами искомого отрезка могут быть точки с координатами (0; 0) и 
Этот ответ можно было бы найти и подбором, но использованные в этом пункте идеи понадобятся в дальнейшем.
г) Аналогично, пусть точка 
является серединой отрезка с концами 
и 
Составим систему уравнений:
Сложив эти уравнения, получим 
Если у этого уравнения есть решение, то, подставляя его в первое уравнение системы, определим y и построим таким образом интересующий нас отрезок. Имеем:
При 
решения есть только при 
при прочих a получаем 
поэтому для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, 
В эту формулу, в том числе, подходят и ситуации с 
Таким образом, нужно построить графики 
и взять все точки, лежащие между ними (cм. рис.).
Ответ: 
Задание парного варианта: 2049