Даны функции 
а) Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиками данных функций и прямыми 
и 
б) Пусть 
и 
— точки пересечения прямой 
с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?
в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с 
г) Изобразите на координатной плоскости множество середин отрезков, концы которых лежат на графике
а) Заметим, что при
получим 
поэтому 
то есть график 
проходит выше графика 
Значит,
б) Нужно, чтобы значения функций в точке x отличались на 1. Решим уравнение
Обозначая 
получим
Заметим, что 
поэтому уравнение 
решений не имеет. Все остальные корни лежат на отрезке [−1; 1] и дают корни 
т. е. 
где 
т. е. 
и 
где 
т. е. 
и 
где 
в) Обозначим концы этого отрезка за 
и 
(концы отрезка симметричны относительно его середины). Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
Складывая эти уравнения, получим 
или
В это уравнение подходит, например 
поскольку
Затем можно будет определить y из первого уравнения:
Таким образом, на роль этих точек годятся 
и 
В принципе, можно было попробовать угадать этот ответ. Но в последнем пункте нам понадобятся идеи, придуманные в этом.
г) Аналогично, пусть точка 
является серединой отрезка 
и 
Составим систему уравнений:
Сложив эти уравнения, получим 
Если у этого уравнения есть решение, то подставляя его в первое уравнение системы мы определим y и построим таким образом интересующий нас отрезок.
При 
решения есть только при 
при прочих a получаем 
поэтому для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, 
В эту формулу в том числе подходят и ситуации с 
Таким образом, нужно построить графики 
и взять все точки, лежащие между ними (cм. рис.).
Ответ: 
Задание парного варианта: 2049