Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2081

Даны функции f(x)= синус x, g(x)= косинус 2x.

а) Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиками данных функций и прямыми x= Пи и x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

б) Пусть A(m) и B(m) — точки пересечения прямой x=m с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?

в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с точкой M левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ?

г) Изобразите на координатной плоскости множество середин отрезков, концы которых лежат на графике функции f.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что при x принадлежит левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка получим 2x принадлежит левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка , поэтому  косинус 2x больше 0 больше или равно синус x, то есть график g(x) проходит выше графика f(x). Значит,

S= принадлежит t\limits_ Пи в степени (\textstyle дробь: числитель: 7 Пи ) 6}( косинус 2x минус синус x)dx=\dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс косинус x, знаменатель: Пи конец дроби {\textstyle  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2 Пи минус косинус Пи =
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: Пи }3 минус косинус дробь: числитель: Пи }6 минус 0 плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из { 3, знаменатель: , конец дроби знаменатель: 2 конец дроби плюс 1=1 минус дробь: числитель: корень из { 3, знаменатель: , конец дроби знаменатель: 4 конец дроби .

б) Нужно, чтобы значения функций в точке x отличались на 1. Решим уравнение

\abs косинус 2x минус синус x=1 равносильно \abs1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x=1

Обозначая  синус x=t, получим

\abs1 минус 2t в квадрате минус t=1 равносильно совокупность выражений 1 минус 2t в квадрате минус t=1,1 минус 2t в квадрате минус t= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2t в квадрате плюс t=0,2t в квадрате плюс t минус 2=0 конец совокупности . равносильно

 равносильно совокупность выражений (2t плюс 1)t=0,2t в квадрате плюс t минус 2=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t=0,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t= дробь: числитель: минус 1\pm корень из (17) , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

Заметим, что  дробь: числитель: минус 1 минус корень из (17) , знаменатель: 4 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше минус 1, поэтому уравнение  синус x= дробь: числитель: минус 1 минус корень из (17) , знаменатель: 4 конец дроби решений не имеет. Все остальные корни лежат на отрезке [−1; 1] и дают корни  синус x=0, т. е. x= Пи k, где k принадлежит Z ;  синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , т. е. x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k и x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, где k принадлежит Z ;  синус x= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из (17) , знаменатель: 4 конец дроби , т. е. x=\arcsin дробь: числитель: минус 1 плюс корень из (17) , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k и x= Пи минус \arcsin дробь: числитель: минус 1 плюс корень из (17) , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, где k принадлежит Z .

в) Обозначим концы этого отрезка за  левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс x; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y правая круглая скобка и  левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус x; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус y правая круглая скобка (концы отрезка симметричны относительно его середины). Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными

\left\\begin{aligned синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y, синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус y. \endaligned .

Складывая эти уравнения, получим  синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби или

2 синус дробь: числитель: \tfrac13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс x плюс \tfrac13 Пи 12 минус x2 косинус дробь: числитель: \tfrac13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс x минус левая круглая скобка \tfrac13 Пи 12 минус x правая круглая скобка 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 синус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

В это уравнение подходит, например x= дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби , поскольку

2 синус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби косинус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби = синус 2 умножить на дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби = синус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Затем можно будет определить y из первого уравнения:

y= синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Таким образом, на роль этих точек годятся (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . В принципе, можно было попробовать угадать этот ответ. Но в последнем пункте нам понадобятся идеи, придуманные в этом.

г) Аналогично, пусть точка (a; b) является серединой отрезка (a плюс x; b плюс y) и (a минус x; b минус y). Составим систему уравнений:

\left\\begin{aligned синус (a плюс x)=b плюс y синус (a минус x)=b минус y \endaligned .

Сложив эти уравнения, получим  синус (a плюс x) плюс синус (a минус x)=2b. Если у этого уравнения есть решение, то подставляя его в первое уравнение системы мы определим y и построим таким образом интересующий нас отрезок.

 синус a косинус x плюс косинус a синус x плюс синус a косинус x минус косинус a синус x=2b равносильно

 равносильно 2 синус a косинус x=2b равносильно синус a косинус x=b.

При  синус a=0 решения есть только при b=0, при прочих a получаем  косинус x= дробь: числитель: b, знаменатель: синус a конец дроби , поэтому для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, чтобы \abs дробь: числитель: b, знаменатель: синус a конец дроби меньше или равно 1, откуда \absb\leqslant\abs синус a. В эту формулу в том числе подходят и ситуации с  синус a=0. Таким образом, нужно построить графики b=\pm синус a и взять все точки, лежащие между ними (cм. рис.).

 

Ответ: а) 1 минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби ; б) \left \ Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; ( минус 1) в степени k \arcsin дробь: числитель: корень из (17, знаменатель: минус конец дроби 1) 4 плюс Пи k : k принадлежит \Bbb Z \; в) Да, существует; г) см. рис.


Задание парного варианта: 2049

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 11 из 10