Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2121

Дана функция f(x)= косинус в кубе x минус a косинус в квадрате x синус x плюс b косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x.

а) Найдите a и b, если известно, что числа  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби являются корнями функции f.

б) Пусть a=b= минус 1. Решите неравенство f(x)\geqslant0.

в) Пусть a= минус 3. Решите уравнение f(x)= синус 3x.

г) Найдите все пары (a,b), при которых период функции f равен  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) При x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби получаем  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) конец дроби = косинус x и

f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби минус дробь: числитель: a, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби =0,

откуда a=b. При x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби получаем  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) конец дроби ,  косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) конец дроби и

f(x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби минус дробь: числитель: a, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби минус дробь: числитель: b, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2) в кубе конец дроби =0,

откуда  минус 2 минус a минус b=0 Совмещая эти условия, получим:  минус 2 минус 2a=0, a= минус 1, b=a= минус 1.

б) Преобразуем неравенство:

 косинус в кубе x плюс косинус в квадрате x синус x минус косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x больше или равно 0 равносильно косинус в квадрате x( косинус x плюс синус x) минус синус в квадрате x( косинус x плюс синус x) больше или равно 0 равносильно

 равносильно ( косинус в квадрате x минус синус в квадрате x)( косинус x плюс синус x) больше или равно 0 равносильно ( косинус x минус синус x)( косинус x плюс синус x)( косинус x плюс синус x) больше или равно 0 равносильно

 равносильно ( косинус x минус синус x)( косинус x плюс синус x) в квадрате больше или равно 0.

Значит, либо  косинус x плюс синус x=0, тогда  тангенс x плюс 1=0, т. е. тангенс x= минус 1, получим x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, при k принадлежит Z . Либо  косинус x плюс синус x не равно 0, тогда второй множитель всегда положителен и не влияет на знак. Сократим его и получим неравенство

 косинус x минус синус x больше 0 равносильно косинус x больше синус x,

что очевидно выполнено при x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка при k принадлежит Z .

Заметим, что точки  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k попадают на такие отрезки при четных k и не попадают при нечетных, поэтому придется добавить в ответ только соответствующие точки с нечетными k, k=2n плюс 1.

в) Запишем уравнение в виде

 косинус в кубе x плюс 3 косинус в квадрате x синус x плюс b косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x= синус 3x

и преобразуем его:

 косинус в кубе x плюс 3 косинус в квадрате x синус x плюс b косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x=3 синус x минус 4 синус в кубе x равносильно

 равносильно косинус в кубе x плюс 3 косинус в квадрате x синус x плюс b косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x=3 синус x( синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x) минус 4 синус в кубе x равносильно

 равносильно косинус в кубе x плюс 3 косинус в квадрате x синус x плюс b косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x=3 синус в кубе x плюс 3 синус x косинус в квадрате x) минус 4 синус в кубе x равносильно

 равносильно косинус в кубе x плюс b косинус x синус в квадрате x=0 равносильно косинус в кубе x плюс b косинус x(1 минус косинус в квадрате x)=0.

Обозначая t= косинус x, получим уравнение

t в кубе плюс bt(1 минус t в квадрате )=0 равносильно t в кубе минус bt в кубе плюс bt=0 равносильно t(t в квадрате минус bt в квадрате плюс b)=0 равносильно совокупность выражений t=0,t в квадрате (1 минус b) плюс b=0. конец совокупности .

Решим второе уравнение t в квадрате = дробь: числитель: b, знаменатель: b минус 1 конец дроби при b не равно 1 (а при b=1 уравнение t в квадрате (1 минус b) плюс b=0 не имеет корней). Первое уравнение дает  косинус x=0, тогда x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, при k принадлежит Z . Второе же может иметь решения только если  дробь: числитель: b, знаменатель: b минус 1 конец дроби меньше или равно 1 (что сразу запрещает b больше или равно 1) и  дробь: числитель: b, знаменатель: b минус 1 конец дроби больше или равно 0 (поэтому при b принадлежит (0; 1) решений тоже нет). При b=0 получаем что  косинус в квадрате x=0, такой случай мы уже разбирали. Если же b меньше 0, то  дробь: числитель: b, знаменатель: b минус 1 конец дроби принадлежит (0; 1) и уравнение дает

 косинус x=\pm корень из ( дробь: числитель: b, знаменатель: b минус 1 конец дроби ) равносильно x=\pm\arccos левая круглая скобка \pm корень из ( дробь: числитель: b, знаменатель: b минус 1 конец дроби ) правая круглая скобка плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .

г) Для начала заметим, что тогда

f(0)=f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Выясним, когда выполнены эти условия:  синус 0=0,  косинус 0=1,  синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби ,  косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  синус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби и  косинус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Поэтому: f(0)=1 минус 0 плюс 0 минус 0=1,

f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби минус a умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби плюс b умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: минус 1 минус a корень из (3) минус 3b минус 3 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби ,

и

f левая круглая скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс a умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби плюс b умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: минус 1 плюс a корень из (3) минус 3b плюс 3 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби .

Получаем два уравнения  дробь: числитель: минус 1 минус a корень из (3) минус 3b минус 3 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби =1 и  дробь: числитель: минус 1 плюс a корень из (3) минус 3b плюс 3 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби =1, или  минус 1 минус a корень из (3) минус 3b минус 3 корень из (3) =8 и  минус 1 плюс a корень из (3) минус 3b плюс 3 корень из (3) =8. Сложив эти уравнения, получим  минус 2 минус 6b=16, откуда b= минус 3. Тогда первое уравнение дает  минус 1 минус a корень из (3) плюс 9 минус 3 корень из (3) =8 или (a плюс 3) корень из (3) =0, отсюда a= минус 3.

Итак,

f(x)= косинус в кубе x плюс 3 косинус в квадрате x синус x минус 3 косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x.

Осталось убедиться, что равенство f(x)=f левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка выполнено и для всех остальных x. Для этого преобразуем функцию

f(x)= косинус в кубе x плюс 3 косинус в квадрате x синус x минус 3 косинус x синус в квадрате x минус синус в кубе x=
= косинус в кубе x плюс 3(1 минус синус в квадрате x) синус x минус 3 косинус x(1 минус косинус в квадрате x) минус синус в кубе x=
= косинус в кубе x плюс 3 синус x минус 3 синус в кубе x минус 3 косинус x плюс 3 косинус в кубе x минус синус в кубе x=
= 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x плюс 3 синус x минус 4 синус в кубе x= косинус 3x плюс синус 3x,

что периодично с периодом  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , поскольку

 косинус 3 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс синус 3 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = косинус (3x плюс 2 Пи ) плюс синус (3x плюс 2 Пи )= косинус 3x плюс синус 3x.

Ответ: а) a = b =−1; б) \left \ \pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \; в) \left \ дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 плюс Пи k \, при любом b;  \left \ \pm\arcsin дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из (1 минус b) плюс Пи k \ при b меньше 0, k принадлежит \Bbb Z; г) a = b =−3.


Задание парного варианта: 2116

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения , Уравнения с параметром
?
Сложность: 11 из 10