Дана функция 
а) Вычислите 
б) Решите уравнение 
в) Найдите наименьшее значение функции 
г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства 
достаточно для выполнения неравенства 
а) Решим уравнение 
Домножим на знаменатель:
Значит, либо 
при 
откуда 
либо 
откуда
При всех этих x получим 
и 
поэтому все они — корни исходного уравнения.
б) Аналогично преобразуем неравенство:
Заметим, что функция, написанная в левой части, периодична с периодом 
поэтому достаточно решить неравенство при 
и затем повторять ответ с периодом 
Решим неравенство на указанном промежутке. Числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (числитель может быть нулем). Очевидно знаменатель положителен в первой и третьей четвертях и отрицателен во второй и четвертой. Числитель же положителен при 
и равен нулю в концах этого промежутка. Поэтому ответом на этом промежутке будет
А общий ответ
где 
в) Функция имеет вид 
поэтому ее производная равна
Необходимо, чтобы она была отрицательна на промежутке 
Знаменатель положителен всегда, значит, числитель должен быть отрицателен. Разберем случаи.
Если 
то при 
получим
и 
поэтому числитель стремится к положительному числу. Значит, в некоторой окрестности точки 
числитель окажется положительным.
Если 
то числитель положителен на всем промежутке.
Если 
то функция 
убывает на всем указанном промежутке (потому что на нем убывают и 
и 
), поэтому необходимо и достаточно, чтобы неравенство выполнялось при 
или, что то же самое, чтобы выполнялось нестрогое неравенство при 
Получаем:
г) Преобразуем уравнение, домножив на знаменатель 
Сразу заметим, что если 
или 
то такие x не будут решениями этого уравнения, поэтому от такого домножения число решений не изменится. В частности, 
тоже не является корнем.
Функция
должна иметь три корня на отрезке длиной Но она периодична с периодом поэтому если ее график трижды пересечет горизонтальную ось, то окажется с другой стороны от нее. Поэтому единственная возможность получить нечетное число корней — это сделать так, чтобы как минимум в одном из корней график функции касался бы оси. Тогда и график функции 
тоже касается горизонтальной оси. То есть найдется точка, в которой и сама функция и ее производная обращаются в ноль. Возьмем производную и составим систему
Значит,
и
Домножим второе уравнение на 
и сложим уравнения. Получим
Поскольку 
сократим на него 
получим 
Аналогично можно получить, что 
Тогда
В обратную сторону. Допустим, что условие 
выполнено. Выберем тогда такое x, чтобы 
Ясно, что функция 
удовлетворяет условиям 
поэтому уравнение имеет корень на отрезке 
причем это другой корень, нежели тот специфический кратный. Дело в том, что если бы график функции для этого корня пересек бы ось, то корень был бы «кратности» не 2, а как минимум 3, то есть вторая производная тоже обнулялась бы. Но 
поэтому
Если и первое и последнее выражения равны нулю, то и их сумма, равная 
равнялась бы нулю, что невозможно по самому первому замечанию.
Итак, уже найден корень, котором график пересекает ось, значит, есть и второй такой корень, а еще есть корень для ситуации касания. Итого, уже найдено три корня, один из которых кратный.
Сделаем теперь в уравнении замену 
При 
t примет все значения, кроме нуля, ровно по одному разу. Получим уравнение
После домножения на знаменатель получим уравнение четвертой степени. Оно не может иметь других корней, кроме уже перечисленных соответствующих кратному корню и еще двум.
Ответ: 
Задание парного варианта: 2032