Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2027

Дана функция f(x)= косинус x косинус 3x.

а) Решите уравнение f(x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

б) Найдите наименьшее положительное решение системы

 система выражений f(x)=0, синус 5x=1. конец системы .

в) Найдите область значений функции f.

г) Пусть g(t) — наибольшее значение f на отрезке  левая квадратная скобка t; t плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Найдите наименьшее значение функции g на множестве вещественных чисел.

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем уравнение

2 косинус x косинус 3x= минус 1 равносильно косинус (3x плюс x) плюс косинус (3x минус x)= минус 1 равносильно косинус 4x плюс косинус 2x= минус 1 равносильно

 равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс косинус 2x= минус 1 равносильно 2 косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x=0 равносильно (2 косинус 2x плюс 1) косинус 2x=0 равносильно

 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0,2 косинус 2x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k,2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k, принадлежит Z .

б) Второе уравнение дает

5x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби Пи k.

Первые положительные корни будут x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби , x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 10 конец дроби , \ldots Очевидно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби не является корнем уравнения  косинус x косинус 3x=0, а x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби является его корнем.

в) Запишем функцию в виде  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс косинус 2x) и обозначим  косинус 2x=t. Тогда t принадлежит [ минус 1;1] и нам нужно найти множество значений функции t в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби на этом промежутке. Очевидно наименьшее значение этот квадратный трехчлен принимает при

t= дробь: числитель: минус \tfrac12, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,

а наибольшее — на одном из концов отрезка. При t=1 получим 1 в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1. При t= минус 1 получим

( минус 1) в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( минус 1) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =0.

При = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби получим

 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби .

г) Докажем, что ответ 0. Прежде всего заметим, что при  косинус 3x=0, то есть 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, при k принадлежит Z , т. е. x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи k. Значение функции равно нулю, то есть значения, равные нулю, повторяются через каждый промежуток длиной  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , поэтому попадутся на каждом промежутке длины  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

С другой стороны, на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка эта функция не принимает положительных значений. В самом деле, при x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка получим  косинус x больше 0 и 3x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , поэтому  косинус 3x меньше 0. При x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби и x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , имеем f(x)=0. Наконец, при x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка получим  косинус x меньше 0 и 3x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая круглая скобка , поэтому  косинус 3x больше 0.

 

Ответ: а) \left \ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z \; б)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; в)  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка ; г) 0.


Задание парного варианта: 2005

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 11 из 10