Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2146

Дана функция f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: a косинус x плюс 1 конец дроби .

а) Найдите все значения a такие, что функция f принимает только отрицательные значения на интервале  левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; Пи правая круглая скобка .

б) Пусть a = 2. Решите уравнение f(x) − f(2x) = 2.

в) Пусть a < −4. Точки пересечения графика функции f с графиком функции g(x)=a косинус x плюс 1 последовательно соединяются отрезками. Укажите наименьшую и наибольшую из длин полученных отрезков.

г) Пусть a = 2 и x таково, что  синус 3x не равно 0. Найдите

 \undersetnarrow принадлежит fty\mathop\lim левая круглая скобка 3 в степени n умножить на f(2x) умножить на f левая круглая скобка дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на f левая круглая скобка дробь: числитель: 2x, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на f левая круглая скобка дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Нужно, чтобы a косинус x плюс 1 было отрицательно на всем промежутке. Если x\approx дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , то  косинус x\approx минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и

a косинус x плюс 1\approx минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a плюс 1,

поэтому  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a плюс 1 меньше или равно 0, откуда a больше или равно 2. Ясно что при a больше или равно 2 имеем

a косинус x меньше или равно 2 косинус x меньше 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка

и условие про отрицательность знаменателя будет выполнено. Окончательно ответ примет вид: a больше или равно 2.

б) Запишем уравнение в виде

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус x плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус 2x плюс 1 конец дроби =2

и преобразуем его. Обозначим  косинус x=t, тогда  косинус 2x=2 косинус в квадрате x минус 1=2t в квадрате минус 1. Получаем

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2(2t в квадрате минус 1) плюс 1 конец дроби =2  равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4t в квадрате минус 1 конец дроби =2  равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: (2t минус 1)(2t плюс 1) конец дроби =2 равносильно

 равносильно дробь: числитель: 2t минус 1 минус 1, знаменатель: (2t плюс 1)(2t минус 1) конец дроби =2  равносильно 2(t минус 1)=2(2t плюс 1)(2t минус 1) равносильно

 равносильно t минус 1=4t в квадрате минус 1  равносильно 4t в квадрате минус t=0  равносильно t(4t минус 1)=0  равносильно совокупность выражений t=0,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

В первом случае получим  косинус x=0, отсюда x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . Во втором случае  косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , т. е. x=\pm \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . Все эти ответы подходят, поскольку знаменатели не обнуляются.

в) Уравнение

 дробь: числитель: 1, знаменатель: a косинус x плюс 1 конец дроби =a косинус x плюс 1

равносильно уравнению

(a косинус x плюс 1) в квадрате =1 равносильно совокупность выражений a косинус x плюс 1=1,a косинус x плюс 1= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби . конец совокупности .

Поскольку a меньше минус 4, выполнено неравенство 0 меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби меньше 1 и такие x действительно существуют. Значит, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k или x=\pm\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, при k принадлежит Z .

При этом точки лежат на оси в таком порядке:  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,  минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка , \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи и повторяются в обе стороны периодически с периодом 2 Пи , поэтому достаточно вычислить длины четырех отрезков между указанными пятью точками. Их координаты по y равны соответственно 1, −1, −1, 1, 1. Расстояние между первой и второй, а также третьей и четвертой точками равно

 корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс ( минус 1 минус 1) в квадрате ) = корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 4) .

Расстояние между второй и третьей измеряется по горизонтали и равно 2\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка , аналогично расстояние между четвертой и пятой равно  Пи . Докажем, что

 Пи больше 2\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка больше корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 4) .

Первое неравенство очевидно, ведь  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби больше 0, поэтому \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . Докажем теперь второе. Поскольку a меньше минус 4, имеем  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому

\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка больше \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Значит, 2\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка больше дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби и

 корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 4) меньше корень из (( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ) в квадрате плюс 4) = корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 4) = корень из (4 плюс дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 36 конец дроби ) .

Докажем теперь, что  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби больше корень из (4 плюс дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 36 конец дроби ) . Возведем в квадрат:

 дробь: числитель: 4 Пи в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби больше 4 плюс дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 36 конец дроби  равносильно 16 Пи в квадрате больше 144 плюс Пи в квадрате  равносильно 15 Пи в квадрате больше 144  равносильно Пи в квадрате больше 9,6

что верно, поскольку  Пи в квадрате больше 3,1 в квадрате =9,61 больше 9,6. Итак, наименьшее значение расстояния равно

 корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 4) = корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 4) ,

а наибольшее  Пи .

г) Заметим для начала, что

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус 2t плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: синус t, знаменатель: синус t(2 косинус 2t плюс 1) конец дроби = дробь: числитель: синус t, знаменатель: синус t(2(1 минус 2 синус в квадрате t) плюс 1) конец дроби =

= дробь: числитель: синус t, знаменатель: синус t(3 минус 4 синус в квадрате t) конец дроби = дробь: числитель: синус t, знаменатель: 3 синус t минус 4 синус в кубе t конец дроби = дробь: числитель: синус t, знаменатель: синус 3t конец дроби .

Теперь преобразуем выражение из условия

 дробь: числитель: 3 в степени n , знаменатель: (1 плюс 2 косинус 2x)(1 плюс 2 косинус дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 конец дроби )\ldots(1 плюс 2 косинус дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби ) конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени n синус x синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби \ldots синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби , знаменатель: синус 3x синус x \ldots синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени (n минус 1) конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени n синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби , знаменатель: синус 3x конец дроби

Поскольку  дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби arrow 0, то

\lim\limits_narrow принадлежит fty дробь: числитель: 3 в степени n синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби , знаменатель: синус 3x конец дроби = \lim\limits_narrow принадлежит fty дробь: числитель: x дробь: числитель: синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби конец дроби , знаменатель: синус 3x конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: синус 3x конец дроби \lim\limits_narrow принадлежит fty дробь: числитель: синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 3 в степени n конец дроби конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: синус 3x конец дроби умножить на 1= дробь: числитель: x, знаменатель: синус 3x конец дроби ,

мы воспользовались первым замечательным пределом.

 

Ответ:

а) a ⩾ 2;

б)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, \pm \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ;

в) π — наибольшая длина,  корень из (4 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка в квадрате )  — наименьшая;

г)  дробь: числитель: x, знаменатель: синус 3x конец дроби .


Задание парного варианта: 2141

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2002 год, вариант 2
? Классификатор: Прогрессии, Тригонометрические уравнения , Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 11 из 10