Дана функция 
а) Найдите все значения a такие, что функция f принимает только отрицательные значения на интервале 
б) Пусть a = 2. Решите уравнение f(x) − f(2x) = 2.
в) Пусть a < −4. Точки пересечения графика функции f с графиком функции 
последовательно соединяются отрезками. Укажите наименьшую и наибольшую из длин полученных отрезков.
г) Пусть a = 2 и x таково, что 
Найдите
а) Нужно, чтобы 
было отрицательно на всем промежутке. Если 
то 
и
поэтому 
откуда 
Ясно что при 
имеем
и условие про отрицательность знаменателя будет выполнено. Окончательно ответ примет вид:
б) Запишем уравнение в виде
и преобразуем его. Обозначим 
тогда 
Получаем
В первом случае получим 
отсюда 
Во втором случае 
т. е. 
Все эти ответы подходят, поскольку знаменатели не обнуляются.
в) Уравнение
равносильно уравнению
Поскольку 
выполнено неравенство 
и такие x действительно существуют. Значит, 
При этом точки лежат на оси в таком порядке: 
и повторяются в обе стороны периодически с периодом 
поэтому достаточно вычислить длины четырех отрезков между указанными пятью точками. Их координаты по y равны соответственно
Расстояние между второй и третьей измеряется по горизонтали и равно 
аналогично расстояние между четвертой и пятой равно 
Докажем, что
Первое неравенство очевидно, ведь 
поэтому 
Докажем теперь второе. Поскольку имеем 
поэтому
Значит, 
и
Докажем теперь, что 
Возведем в квадрат:
что верно, поскольку 
Итак, наименьшее значение расстояния равно
а наибольшее
г) Заметим для начала, что
Теперь преобразуем выражение из условия
Поскольку 
то
мы воспользовались первым замечательным пределом.
Ответ:
а) a ⩾ 2;
б) 
в) π — наибольшая длина, 
— наименьшая;
г) 
Задание парного варианта: 2141