PDF-версии: 
Решите уравнение: 
Решение. Представим 1 в виде 
и будем выполнять равносильные преобразования:
Ответ: {−3}.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
пересекает ось абсцисс?
откуда 
Тогда 
и 
Преобразуем уравнение:
т. е. при 
Для таких значений x имеем
т. е. 
Это уравнение имеет два корня: 
и 
Условию 
удовлетворяет только 
Воспользовавшись свойствами логарифмической функции, получим равносильную уравнению систему
отсюда 
и 
Тогда 
и 
Заметим, что переходы от уравнения (2) к уравнению (3) и далее к уравнению (4) не равносильны, хотя и не ведут к потере корней. Поэтому требуется непосредственная проверка для выявления посторонних корней. 
левая часть уравнения (1) не определена, т. е. 
обе заданные функции определены. Установим значения обеих данных в условии функций при 
и 
или 
Далее
—
и 
и 
Тогда 
После замены переменной 
получим 
решений не имеет, а для 
получаем y = 2.
Рассмотрим только случаи, когда 
так как основание логарифма не может быть числом отрицательным: 
и 
являются корнями уравнения.
то выражение 
не имеет смысла. Если 
то 
определена только для положительных значений аргумента. Так как логарифмическая функция с основанием 
убывает, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение аргумента. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе:
и 
корнем уравнения 
Решите уравнение 
монотонно возрастает на 
то равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
и 
Таким образом, 
если
Тогда
или 
тогда 
или 
Сделав проверку, убедимся, что 
и 
являются корнями исходного уравнения.
тогда
или 
тогда 
или 
так как логарифмическая функция определена для положительных значений аргумента. Вычислим 
и
Запишем уравнение, равносильное исходному: 
и 
Таким образом, данное уравнение эквивалентно уравнению 
Откуда 
и 
совпадают?
поскольку все множители положительны. Следовательно, обе функции определены на интервале 
перейдем к равносильному уравнению:
Следовательно, имеем:
и 
Заметим, что уравнение симметрично относительно 
Решив уравнение
и соответствующие значения x. Значение выражения 
и соответствующие значения x также будут являться корнями исходного уравнения. Итак, имеем:
Перейдя к основанию 2, получаем:
то 
если 
то 
Оба этих корня принадлежат области допустимых значений.
лежащих в верхней полуплоскости, расстояние которых до оси абсцисс равно 2.
и 
Мы не писали неравенство 
и условие 
т. к. они выполняются и в уравнении 
т. е. здесь не может возникнуть посторонних корней.
