Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3922

При каких значениях x графики функций y=\log _3(x в кубе минус 5x в квадрате плюс 4x) и y=\log _3(1 минус x) плюс \log _3(4x минус x в квадрате ) совпадают?

Спрятать решение

Решение.

Чтобы графики функций совпадали, должны быть тождественно равны выражения, задающие функции, на их общей области определения. Найдем область определения функции y=\log _3(1 минус x) плюс \log _3(4x минус x в квадрате ):

 система выражений 1 минус x больше 0,x(4 минус x) больше 0 конец системы . равносильно система выражений x меньше 1,0 меньше x меньше 4 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше 1.

Преобразуем аргумент первой функции:

x в кубе минус 5x в квадрате плюс 4x = x(x в квадрате минус 5x плюс 4) = x(x минус 1)(x минус 4) = x(1 минус x)(4 минус x).

Полученное произведение положительно при 0 меньше x меньше 1, поскольку все множители положительны. Следовательно, обе функции определены на интервале (0; 1).

На области определения получаем:

 логарифм по основанию 3 (x(1 минус x)(4 минус x)) = логарифм по основанию 3 (1 минус x)(4x минус x в квадрате ) = логарифм по основанию 3 (1 минус x) плюс логарифм по основанию 3 (4x минус x в квадрате ).

Следовательно, выражения, задающие функции, совпадают при всех х из их области определения.

 

Ответ: (0; 1).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3928

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1999 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 5 из 10