РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3559

Найдите ординаты точек пересечения графиков функций $y=\log _2x$ и $y=5 минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Задачу можно решить двумя способами:

Ⅰ способ. Сначала найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций.

$логарифм по основанию 2 x=5 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =5 равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка =5,x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x минус 32=0,x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 8,x=4, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x=4.$ $логарифм по основанию 2 x=5 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =5 равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка =5,x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x минус 32=0,x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 8,x=4, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x=4.$

Таким образом, графики функций имеют одну общую точку с абсциссой х  =  4. Ее ордината $y= логарифм по основанию 2 4=2.$

Ответ: 2.

Ⅱ способ. Рассмотрим $y= логарифм по основанию 2 x$ и $x=2 в степени y .$ Тогда

$y=5 минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =5 минус y равносильно x плюс 4=2 в степени левая круглая скобка 5 минус y правая круглая скобка равносильно x=2 в степени левая круглая скобка 5 минус y правая круглая скобка минус 4.$ $y=5 минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =5 минус y равносильно$
$равносильно x плюс 4=2 в степени левая круглая скобка 5 минус y правая круглая скобка равносильно x=2 в степени левая круглая скобка 5 минус y правая круглая скобка минус 4.$

Рассмотрим уравнение $2 в степени y =2 в степени левая круглая скобка 5 минус y правая круглая скобка минус 4.$ После замены переменной $2 в степени y =t$ получим

$t= дробь: числитель: 32, знаменатель: t конец дроби минус 4 равносильно t в квадрате плюс 4t минус 32=0 совокупность выражений t= минус 8,t=4. конец совокупности$

Возвращаясь к переменной у, заметим, что уравнение $2 в степени y = минус 8$ решений не имеет, а для $2 в степени y =4$ получаем y  =  2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3565

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические неравенства

Сложность: 2 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь