Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3958

Решите уравнение  логарифм по основанию (2) в степени (2) x минус 3|\log _2x| плюс 2=0.

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ способ. Используя свойство модуля |t| в квадрате =t в квадрате , перейдем к равносильному уравнению:

| логарифм по основанию 2 x| в квадрате минус 3| логарифм по основанию 2 x| плюс 2=0.

Разложив на множители левую часть, получим:

(| логарифм по основанию 2 x| минус 1)(| логарифм по основанию 2 x| минус 2)=0.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. В нашем случае оба множителя определены только для положительных значений x, поскольку областью определения логарифмической функции является (0; плюс принадлежит fty ). Следовательно, имеем:

 совокупность выражений | логарифм по основанию 2 x| минус 1=0,| логарифм по основанию 2 x| минус 2=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений | логарифм по основанию 2 x|=1,| логарифм по основанию 2 x|=2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x=1, логарифм по основанию 2 x= минус 1, логарифм по основанию 2 x=2, логарифм по основанию 2 x= минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=4, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

Ответ: \left \ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2; 4 \.

 

Ⅱ способ. Дли решения уравнения используем следующие свойства: t в квадрате =( минус t) в квадрате и |t|=| минус t|. Заметим, что уравнение симметрично относительно  логарифм по основанию 2 x. Решив уравнение

 логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2=0,

найдем  логарифм по основанию 2 x и соответствующие значения x. Значение выражения  минус логарифм по основанию 2 x и соответствующие значения x также будут являться корнями исходного уравнения. Итак, имеем:

 логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x=1, минус логарифм по основанию 2 x=1, логарифм по основанию 2 x=2, минус логарифм по основанию 2 x=2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=4, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3964

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 5 из 10