РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3958

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 3|\log _2x| плюс 2=0.$

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ способ. Используя свойство модуля $|t| в квадрате =t в квадрате ,$ перейдем к равносильному уравнению:

$| логарифм по основанию 2 x| в квадрате минус 3| логарифм по основанию 2 x| плюс 2=0.$

Разложив на множители левую часть, получим:

$левая круглая скобка | логарифм по основанию 2 x| минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка | логарифм по основанию 2 x| минус 2 правая круглая скобка =0.$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. В нашем случае оба множителя определены только для положительных значений x, поскольку областью определения логарифмической функции является $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Следовательно, имеем:

$совокупность выражений | логарифм по основанию 2 x| минус 1=0,| логарифм по основанию 2 x| минус 2=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений | логарифм по основанию 2 x|=1,| логарифм по основанию 2 x|=2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x=1, логарифм по основанию 2 x= минус 1, логарифм по основанию 2 x=2, логарифм по основанию 2 x= минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=4, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2; 4 правая фигурная скобка .$

Ⅱ способ. Дли решения уравнения используем следующие свойства: $t в квадрате = левая круглая скобка минус t правая круглая скобка в квадрате$ и $|t|=| минус t|.$ Заметим, что уравнение симметрично относительно $логарифм по основанию 2 x.$ Решив уравнение

$логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2=0,$

найдем $логарифм по основанию 2 x$ и соответствующие значения x. Значение выражения $минус логарифм по основанию 2 x$ и соответствующие значения x также будут являться корнями исходного уравнения. Итак, имеем:

$логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x=1, минус логарифм по основанию 2 x=1, логарифм по основанию 2 x=2, минус логарифм по основанию 2 x=2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=4, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3964

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь