РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3486

Найдите абсциссы всех общих точек графиков функций $y=\log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка$ и $y=2\log _23 минус \log _2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Абсцисса общей точки графиков должна удовлетворять уравнению

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка =2 логарифм по основанию 2 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 логарифм по основанию 2 3. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка .$

Из второго уравнения заключаем, что

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 9, \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

а отсюда получаем уравнение

$левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =9, \qquad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

или $2x в квадрате минус 9x минус 5=0.$ Тогда $x_1=5$ и $x_2= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Заметим, что переходы от уравнения (2) к уравнению (3) и далее к уравнению (4) не равносильны, хотя и не ведут к потере корней. Поэтому требуется непосредственная проверка для выявления посторонних корней.

Проверка. При $x=5$ левая часть уравнения (1) не определена, т. е. $x=5$ не удовлетворяют уравнению (1). При $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ обе заданные функции определены. Установим значения обеих данных в условии функций при $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби :$

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 9, знаменатель: 2 равносильно y=2 логарифм по основанию 2 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 9 минус логарифм по основанию 2 2= логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 9, знаменатель: 2 .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 9, знаменатель: 2 равносильно$
$равносильно y=2 логарифм по основанию 2 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 9 минус логарифм по основанию 2 2= логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 9, знаменатель: 2 .$

Таким образом, графики обеих функций имеют одну точку пересечения с абсциссой $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3492

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 6, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 1 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь