PDF-версии: 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство
Отмечаем точки 
на вещественной прямой и с помощью метода интервалов получаем ответ 
или же 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
При всех 
выполняется условие 
Поэтому исходное первенство равносильно системе
монотонно убывает, неравенство 
равносильно неравенству 
Отсюда и из условия 
при 
и 
при 
Итак, 3 и 5 — точки возможной перемены знака функции f(x), задающейся дробью, стоящей в левой части исходного неравенства. Определим знаки функции в промежутках, на которые точки 3 и 5 разделяют координатную прямую. Подстановкой какого-либо произвольного значения из данного промежутка устанавливаем, что знаки функции распределяются по промежуткам так, как показано на рисунке. В самом деле, подсчет или прикидка по знаку дают следующие результаты: 
и 
тогда имеем равносильную систему
при любых значениях х, 
Составим систему
так как подкоренное выражение должно быть неотрицательно по определению. Пусть 
тогда имеем:
где 
Тогда решение данного неравенства сводится к решению квадратного неравенства 
Разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем его корни, решив уравнение 
Вернувшись к исходной переменной, имеем 
т. е. 
Показательная функция с основанием, большим 1, возрастает. Поэтому это неравенство равносильно неравенству 
Укажите какое-либо отрицательное число, являющиеся решением этого неравенства (если такое существует).
можно сокращать, поскольку оно положительно при всех x. Решая полученное неравенство методом интервалов, получаем 
В качестве примера отрицательного решения можно взять, например, 
тогда 
а 
А при 
получим 
поэтому наибольшее подходящее целое число это 
Так как 
— монотонно возрастающая функция, то можно перейти к равносильному неравенству 
как 
получим неравенство 
или 
или 
Отсюда 
так как функция 
монотонно возрастает, делаем вывод: 
а показательная функция с основанием, меньшим единицы, убывает на ℝ, можно заметить исходное неравенство квадратным 
тогда неравенство принимает вид 
Решив его, получим 
или 
Неравенство 
имеет решение 
Неравенство 
получим 
Отсюда 
к неравенству 
поскольку такой переход является общеизвестным стандартным приемом. Таким же приемом, как, например, переход от неравенства 
к неравенству 
или от уравнения 
к совокупности его решений 
и 
тогда исходное неравенство можно переписать как 
или 
График квадратичной функции 
изображен на рисунке. Из неравенства 
получаем
имеет пустое множество решений. Неравенство 
можно записать как 
отсюда 
Она определена и непрерывна на ℝ. Найдем нули функции f(x). Пусть 
где 
тогда уравнение 
можно переписать так: 
Данное квадратное уравнение имеет два корня −4 и 1; 
не удовлетворяет условию 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
значит, 0 — единственная точка возможной перемены знака функции f(x). Проверим знаки функции f(x) слева и справа от точки 
(см. рис.): 
и 
Поскольку мы решаем неравенство 
отсюда следует ответ.
Так как функция 9x возрастает на ℝ, и 
— тоже возрастает на ℝ, то их сумма 
возрастает на ℝ, 
Таким образом, при 
функция 
при 
имеем 
то данное неравенство можно переписать так:
то 
тогда 
и 
— корни уравнения 
следовательно, 
Вернемся к переменной х: имеем 
Поскольку 
то
тогда решение данного показательного неравенства сводится к решению квадратного неравенства 
Решим соответствующее квадратное уравнение 
Найдем его корни 
и 
получим 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем 
Так как 
при любых значениях x, то это неравенство равносильно неравенству 
убывает, то данное неравенство равносильно 
Получим 
Последнее неравенство при 
равносильно неравенству 
Решив его, обнаружим, что 
выводим 
через t, при 
Решая его, получим 
Но так как 
или 
Для любых значений x 
значит, имеем неравенство: 
отсюда 
при всех значениях x, то 
т. е. 
или 
Обозначив 
Возвращаясь к переменной x, получим 
либо 
Первое неравенство решений не имеет, а решениями второго будут все 
и использовано свойство монотонности показательной функции, перейдем к равносильному неравенству 
или 
Последнее неравенство решим методом интервалов. Пусть 
Корни числителя: 1 и 3, корень знаменателя 0. Выносим три точки возможной перемены знака на ось (см. рис.), и, отметив, что f(x) в каждой из этих точек меняет знак, а также, что 
расставляем знаки. 
после чего получаем 
или 
или 
или 
Решим его методом интервалов. Обозначим 
Точки возможной перемены знака 
и x = 0. На интервалах между ними функция f(х) непрерывна и поэтому на каждом таком интервале сохраняет знак (см. рис.). Имеем 
тогда
при 
и 
то 
для 
Следовательно. данное неравенство равносильно системe
получим неравенство
Поскольку основание степени больше единицы, то
и функция 
или 
Отсюда, в силу возрастания функции 2z, получим неравенство
где 
точками возможной перемени знака функции f(x) будут 
и −1. В каждой из указанных точек функция меняет знак. Найдем знак функции, допустим, в точке 0: 
Расставим знаки на координатной прямой (см. рис.) и с учетом не строгости неравенства выпишем ответ: 
и определите, является ли его решением число 
являются числа 
и 
Основная трудность примера заключается в необходимости сравнить эти числа, естественно, без использования микрокалькулятора. Сравним: 
примет вид 
Для ответа на второй вопрос примера, сравним 
Во-первых, очевидно 
Во-вторых:
Отсюда следует, что 
является решением исходного неравенства. 
является решением неравенства.
имеем 
Разложим квадратный трехчлен на множители: 
Получили равносильное неравенство 
Поскольку 
то 
тогда получим
Поскольку 
— функция возрастающая, то 
всегда положительно. Разделив на него обе части данного неравенства, получим равносильное неравенство 
Это неравенство выполняется, если 
возрастает, то эта система равносильна системе 
тогда 
Левая часть неравенства представляет собой убывающую функцию, а правая — возрастающую функцию. При 
получаем верное неравенство 3 = 3. Следовательно, неравенство верно на лучше 
Вернемся к исходной переменной, получим
