Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3573
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 и опре­де­ли­те, яв­ля­ет­ся ли его ре­ше­ни­ем число дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ну­ля­ми функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ют­ся числа ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 и дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Ос­нов­ная труд­ность при­ме­ра за­клю­ча­ет­ся в не­об­хо­ди­мо­сти срав­нить эти числа, есте­ствен­но, без ис­поль­зо­ва­ния мик­ро­каль­ку­ля­то­ра. Срав­ним:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 \vee дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 \vee 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 27 \vee 16 рав­но­силь­но 27 боль­ше 16 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

При­ме­ним к функ­ции f(x) метод ин­тер­ва­лов (см. рис.).

Так как оба со­мно­жи­те­ля в левой части ис­ход­но­го не­ра­вен­ства  — мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щие функ­ции, то в любой точке x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка при­мет вид f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, от­ку­да по­лу­ча­ем рас­ста­нов­ку зна­ков зна­че­ний функ­ции, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся любое x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Для от­ве­та на вто­рой во­прос при­ме­ра, срав­ним дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \vee дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \vee ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3. Во-пер­вых, оче­вид­но дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Во-вто­рых:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 \vee дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 3 \vee 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 9 \vee 8 рав­но­силь­но 9 боль­ше 8 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

т. е. дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3. От­сю­да сле­ду­ет, что x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го не­ра­вен­ства.

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства.

 

За­ме­ча­ние. Вто­рую часть ре­ше­ния можно было осу­ще­ствить иначе  — не­по­сред­ствен­ным опре­де­ле­ни­ем знака f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка :

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 8 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3579

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 4 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025