Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3224

Решите неравенство 4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x минус 4 меньше 0.

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ  способ. Обозначим 2 в степени x через t, при t больше 0, тогда данное неравенство примет вид t в квадрате минус 3t минус 4 меньше 0. Решая его, получим  минус 1 меньше t меньше 4. Но так как t больше 0 то 0 меньше t меньше 4 или 0 меньше 2 в степени x меньше 4. Для любых значений x 2 в степени x больше 0, значит, имеем неравенство: 2 в степени x меньше 4, отсюда x меньше 2.

 

Ответ: ( минус принадлежит fty ; 2).

 

Ⅱ  способ. Решим исходное выражение:

4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x минус 4 меньше 0 равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 2 в степени x минус 4 меньше 0 равносильно 2 в степени x (2 в степени x минус 4) плюс (2 в степени x минус 4) меньше 0 равносильно (2 в степени x минус 4)(2 в степени x плюс 1) меньше 0.

Так как 2 в степени x плюс 1 больше 0 при всех значениях x, то 2 в степени x минус 4 меньше 0, т. е. 2 в степени x меньше 2 в квадрате или x меньше 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3230

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Показательные неравенства
?
Сложность: 3 из 10