РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3224

Решите неравенство $4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x минус 4 меньше 0.$

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ  способ. Обозначим $2 в степени x$ через t, при $t больше 0,$ тогда данное неравенство примет вид $t в квадрате минус 3t минус 4 меньше 0.$ Решая его, получим $минус 1 меньше t меньше 4.$ Но так как $t больше 0$ то $0 меньше t меньше 4$ или $0 меньше 2 в степени x меньше 4.$ Для любых значений x $2 в степени x больше 0,$ значит, имеем неравенство: $2 в степени x меньше 4,$ отсюда $x меньше 2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 2 правая круглая скобка .$

Ⅱ  способ. Решим исходное выражение:

$4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x минус 4 меньше 0 равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 2 в степени x минус 4 меньше 0 равносильно 2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.$ $4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x минус 4 меньше 0 равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 2 в степени x минус 4 меньше 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.$

Так как $2 в степени x плюс 1 больше 0$ при всех значениях x, то $2 в степени x минус 4 меньше 0,$ т. е. $2 в степени x меньше 2 в квадрате$ или $x меньше 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3230

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 5, вариант 1

? Классификатор: Показательные неравенства

Сложность: 3 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь