18. Применение производной в алгебре и физике
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Решите неравенство 
Имеем:
Сделаем замену 
(
), получаем
Рассмотрим 
и найдем область ее значений на 
График f — парабола ветвями вниз с вершиной в 
Таким образом, f возрастает на 
и убывает на 
Следовательно, наименьшее значение достигается в 0 и в 1, а наибольшее в 
Вычислим значения функции в этих точках:
Окончательно получаем, что
и для любого 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2378
В геометрической прогрессии 
с положительными членами выполняется условие 
При каком значении знаменателя прогрессии сумма четырех первых членов принимает наименьшее значение? Найдите эту сумму.
Пусть q — знаменатель прогрессии, при 
так как все члены прогрессии положительны. Из определения геометрической прогрессии получаем: 
или 
при 
Тогда
Найдем наименьшее значение функции 
на промежутке 
Тогда 
на рассматриваемом промежутке. Если 
при 
и 
Где — Тогда 
Таким образом, минимальное значение 
достигается при 
и равно 
Ответ: 
при 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при Задание парного варианта: 2520
Определите координаты точки графика функции 
расстояние от которой до начала координат наименьшее.
Квадрат расстояния от точки с абсциссой x0 графика функции y = f(x) до начала координат вычисляется как 
Поскольку расстояние между точками есть величина неотрицательная, то задача нахождения точки, расстояние от которой до заданной минимально, эквивалентна задаче нахождения точки, квадрат расстояния от которой до заданной минимален.
В нашем случае квадрат расстояния от точки графика функции f, имеющей абсциссу x, до начала координат задается функцией 
Мы должны рассматривать только те значения x, при которых определена функция f.
Эти значения определяются системой неравенств
Таким образом, задача заключается в нахождении положительного x, для которого g(x) минимально.
Функция g дифференцируема на ℝ+, и
Критические точки функции g определим из условия
Рациональным корнем уравнения является 
С учетом этого перепишем уравнения как
Очевидно, что кубический четырехчлен 
положительных корней не имеет, а потому 
— единственная критическая точки функции g на интервале (0; +∞).
Поскольку 
а 
то в критической точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть — точка минимума функции g. При 
функция g(x) принимает свое наименьшее значение, а
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2557
На графике функции 
найдите точку, сумма расстояний от которой до осей координат наименьшая.
Обозначим 
тогда координаты этой точки будут 
Сразу заметим, что
Осталось найти наименьшее значение этой функции при 
Возьмем ее производную. Получим 
что положительно при 
и отрицательно при 
поэтому исходная функция убывает при возрастает при и имеет наименьшее значение при 
Значит, это точка 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2725
Определите координаты точки графика функции 
сумма расстояний от которой до осей координат минимальна.
Расстояние от точки с абсциссой x графика 
до оси Oy равно 
а до оси Ox — 
Убедимся, что для всех действительных x выполняется неравенство 
Действительно,
отрицателен. Тогда функция, задающая сумму расстояний от точки графика заданной функции, имеющей абсциссу x, до осей координат, имеет вид 
Перепишем функцию 
в виде
Исследуем функцию на наибольшее-наименьшее значение при помощи производной. Найдем критические точки 
Эта функция дифференцируема при всех действительных x, не равных 0. Запишем ее производную в виде
в нуле служит то, что 
и 
не совпадают).Одной из критических точек будет точка 0, так как значение 
не определено. Найдем все корни уравнения 
При 
получим 
После преобразований перейдем к уравнению 
которое не имеет действительных корней.
При 
имеем 
Преобразуя, получим биквадратное уравнение 
единственным отрицательным корнем которого будет число (−1).
Таким образом, критические точками функции будут 0 и −1. Для построения таблицы монотонности функции определим знаки производной на каждом из интервалов, определяемых критическими точками.
Проверим, что 
Таблица монотонности функции приведена на рисунке. Из этой таблицы, а также из непрерывности функции 
на 
следует, что свое наименьшее значение принимает при 
Искомая точка имеет координаты 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2570
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх