Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2725

На графике функции y= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2x минус 1 конец дроби найдите точку, сумма расстояний от которой до осей координат наименьшая.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим абсциссу этой точки за a, тогда координаты этой точки будут  левая круглая скобка a; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2a минус 1 конец дроби правая круглая скобка . Сразу заметим, что a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 и  дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2a минус 1 конец дроби больше 0, поэтому сумма расстояний до осей равна просто сумме координат точки, то есть a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2a минус 1 конец дроби . Осталось найти наименьшее значение этой функции при a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Возьмем ее производную:

1 плюс левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка '= 1 плюс левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на 2=1 минус левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,

что положительно при  левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше 1, то есть при a больше 1 и отрицательно при  левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше 1, то есть при a меньше 1, поэтому исходная функция убывает при a меньше 1, возрастает при a больше 1 и имеет наименьшее значение при a=1. Значит, это точка  левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2719

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Расстояние между точками, плоскостями
?
Сложность: 8 из 10