№ 2551 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 18. Применение производной в алгебре и физике
i
Определите координаты точки графика функции 
расстояние от которой до начала координат наименьшее.
Решение. Квадрат расстояния от точки с абсциссой x0 графика функции y = f(x) до начала координат вычисляется как 
Поскольку расстояние между точками есть величина неотрицательная, то задача нахождения точки, расстояние от которой до заданной минимально, эквивалентна задаче нахождения точки, квадрат расстояния от которой до заданной минимален.
В нашем случае квадрат расстояния от точки графика функции f, имеющей абсциссу x, до начала координат задается функцией 
Мы должны рассматривать только те значения x, при которых определена функция f.
Эти значения определяются системой неравенств
Таким образом, задача заключается в нахождении положительного x, для которого g(x) минимально.
Функция g дифференцируема на ℝ+, и
Критические точки функции g определим из условия
Рациональным корнем уравнения является 
С учетом этого перепишем уравнения как
Очевидно, что кубический четырехчлен 
положительных корней не имеет, а потому 
— единственная критическая точки функции g на интервале (0; +∞).
Поскольку 
а 
то в критической точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть — точка минимума функции g. При 
функция g(x) принимает свое наименьшее значение, а
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2557
