Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2551

Определите координаты точки графика функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из натуральный логарифм левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка , расстояние от которой до начала координат наименьшее.

Спрятать решение

Решение.

Квадрат расстояния от точки с абсциссой x0 графика функции y = f(x) до начала координат вычисляется как x_0 в квадрате плюс левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате . Поскольку расстояние между точками есть величина неотрицательная, то задача нахождения точки, расстояние от которой до заданной минимально, эквивалентна задаче нахождения точки, квадрат расстояния от которой до заданной минимален.

В нашем случае квадрат расстояния от точки графика функции f, имеющей абсциссу x, до начала координат задается функцией g левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в квадрате плюс натуральный логарифм левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка . Мы должны рассматривать только те значения x, при которых определена функция f.

Эти значения определяются системой неравенств

 система выражений натуральный логарифм левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0,2x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно 2x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс 1 больше или равно 1 равносильно 2x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно x больше 0.

Таким образом, задача заключается в нахождении положительного x, для которого g(x) минимально.

Функция g дифференцируема на ℝ+, и

g' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 2x плюс левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x плюс \dfrac 2x плюс 1 конец дроби равносильно g' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 2x левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x в квадрате минус 1, знаменатель: x в квадрате левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка .

Критические точки функции g определим из условия

g' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0 \underset x принадлежит левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка \mathop равносильно 1 плюс дробь: числитель: x в квадрате минус 1, знаменатель: x в квадрате левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка конец дроби = 0 равносильно 2x в степени 4 плюс x в кубе плюс 3x в квадрате минус 1 = 0.

Рациональным корнем уравнения является  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . С учетом этого перепишем уравнения как

 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в кубе плюс x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка = 0.

Очевидно, что кубический четырехчлен x в кубе плюс x в квадрате плюс 2x плюс 1 положительных корней не имеет, а потому  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  — единственная критическая точки функции g на интервале (0; +∞).

Поскольку g' левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка меньше 0, а g' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше 0, то в критической точке  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби производная меняет знак с минуса на плюс, то есть  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  — точка минимума функции g. При x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби функция g(x) принимает свое наименьшее значение, а

f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из натуральный логарифм левая круглая скобка 1 плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка = корень из \n 6.

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; корень из натуральный логарифм 6 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2557

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Нахождение точки множества, ближайшей к графику данной функции
?
Сложность: 8 из 10