№ 2564 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 18. Применение производной в алгебре и физике
i
Определите координаты точки графика функции 
сумма расстояний от которой до осей координат минимальна.
Решение. Расстояние от точки с абсциссой x графика 
до оси Oy равно 
а до оси Ox — 
Убедимся, что для всех действительных x выполняется неравенство 
Действительно,
для всех
x, поскольку диcкриминант квадратного трехчлена
отрицателен. Тогда функция, задающая сумму расстояний от точки графика заданной функции, имеющей абсциссу
x, до осей координат, имеет вид
Перепишем функцию 
в виде
Исследуем функцию на наибольшее-наименьшее значение при помощи производной. Найдем критические точки 
Эта функция дифференцируема при всех действительных x, не равных 0. Запишем ее производную в виде
(Строгим обоснованием недифференцируемости
в нуле служит то, что
и
не совпадают).
Одной из критических точек будет точка 0, так как значение 
не определено. Найдем все корни уравнения 
При 
получим 
После преобразований перейдем к уравнению 
которое не имеет действительных корней.
При 
имеем 
Преобразуя, получим биквадратное уравнение 
единственным отрицательным корнем которого будет число (−1).
Таким образом, критические точками функции будут 0 и −1. Для построения таблицы монотонности функции определим знаки производной на каждом из интервалов, определяемых критическими точками.
Проверим, что 
Таблица монотонности функции приведена на рисунке. Из этой таблицы, а также из непрерывности функции 
на 
следует, что свое наименьшее значение принимает при 
Искомая точка имеет координаты 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2570
